Trovare tutte le funzioni f che mandano interi positivi in interi positivi tali che:
$ ~ (2^m+1)f(n)f(2^mn) = 2^mf(n)^2 + f(2^mn)^2 + (2^m-1)^2n $
per ogni m,n interi positivi.
PreIMO 2004, problema 3 - funzionale balorda sui naturali
Le lettere usate indicano numeri naturali e dipendenti da n; non aggiungo indici per comodità di scrittura.
La formula data può essere considerata come un’equazione di secondo grado nell’incognita $ f(2^m n) $ ; il suo discriminante è
$ \Delta=(2^m-1)^2 [f(n)^2-4n] $
quindi, perché il risultato sia intero, si deve avere $ f(n)^2-4n=a^2 $ cioè
$ [f(n)+a][f(n)-a]=4n $
I due fattori a primo membro devono essere entrambi pari perché tali sono il loro prodotto 4n e la loro somma 2f(n), quindi
f(n)+a=2r
f(n)-a=2s
rs=n
Risolvendo ora l’equazione si ha
$ f(2^m n)=\frac 1 2 [(2^m+1)f(n) \pm (2^m-1)a]= $
$ =\frac 1 2 ( 2^m[f(n) \pm a]+[f(n) \mp a]) $
con le due soluzioni $ 2^m r+s $ e $ 2^m s+r $ , riducibili alla prima soltanto perché r, s sono scambiabili fra loro. Per n=1 deve essere r=s=1 quindi
$ f(2^m)= 2^m+1 $
Posto ora $ n=2^k q $ con q dispari, si ha
$ f(2^m n)=f(2^{k+m} q)=2^{k+m} r+s $
con rs=q e quindi la seguente regola per f(n): scomposto n in due fattori di cui uno dispari, f(n) è la somma di questi fattori. Non si origina una funzione nel senso abituale della parola perché, a parte le potenze di 2 e i numeri primi, ad ogni n corrispondono più valori; occorre aggiungere qualche regola per sceglierne uno. La regola può però essere solo arbitraria (o sbaglio?); la più semplice è certo prendere 1 come fattore dispari e quindi porre
f(n)=n+1
La formula data può essere considerata come un’equazione di secondo grado nell’incognita $ f(2^m n) $ ; il suo discriminante è
$ \Delta=(2^m-1)^2 [f(n)^2-4n] $
quindi, perché il risultato sia intero, si deve avere $ f(n)^2-4n=a^2 $ cioè
$ [f(n)+a][f(n)-a]=4n $
I due fattori a primo membro devono essere entrambi pari perché tali sono il loro prodotto 4n e la loro somma 2f(n), quindi
f(n)+a=2r
f(n)-a=2s
rs=n
Risolvendo ora l’equazione si ha
$ f(2^m n)=\frac 1 2 [(2^m+1)f(n) \pm (2^m-1)a]= $
$ =\frac 1 2 ( 2^m[f(n) \pm a]+[f(n) \mp a]) $
con le due soluzioni $ 2^m r+s $ e $ 2^m s+r $ , riducibili alla prima soltanto perché r, s sono scambiabili fra loro. Per n=1 deve essere r=s=1 quindi
$ f(2^m)= 2^m+1 $
Posto ora $ n=2^k q $ con q dispari, si ha
$ f(2^m n)=f(2^{k+m} q)=2^{k+m} r+s $
con rs=q e quindi la seguente regola per f(n): scomposto n in due fattori di cui uno dispari, f(n) è la somma di questi fattori. Non si origina una funzione nel senso abituale della parola perché, a parte le potenze di 2 e i numeri primi, ad ogni n corrispondono più valori; occorre aggiungere qualche regola per sceglierne uno. La regola può però essere solo arbitraria (o sbaglio?); la più semplice è certo prendere 1 come fattore dispari e quindi porre
f(n)=n+1