So bene che questo non è il posto più adatto per parlare di un esercizio "scolastico", spero che si possa chiudere un occhio e aiutarmi a risolvere questo dubbio! (Please!)
Allora, la consegna dell'esercizio: dato il settore di corona circolare $ D=\left\{ (x,y) \in R^2 \mbox{ : } 4\leq x^2+y^2 \leq 9, \mbox{ } x \leq 0, \mbox{ } y \leq 0 \right\} $ calcolare l'integrale $ \displaystyle \iint_D (x-2xy) dxdy $
Io a questo punto passo alle coordinate polari, noto che deve essere $ 2 \leq \rho \leq 3 $ e $ \pi \leq \theta \leq \frac{3}{2} \pi $ e riscrivo l'integrale:
$ \displaystyle \iint_D (x-2xy) dxdy = \int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} \left( \int_2^3 (\rho^2 \cos \theta -2 \rho^3 \cos \theta \sin \theta)d \rho \right)d \theta = $
$ \displaystyle \int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} \left|\frac{\rho^3}{3}\cos \theta - \frac{\rho^4}{2} \cos \theta \sin \theta \right|_2^3 d\theta = $
$ \displaystyle \int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} \left(\frac{19}{3} \cos \theta - \frac{65}{2} \cos \theta \sin \theta \right) d \theta = \left| \frac{19}{3} \sin \theta + \frac{65}{8} \cos{2 \theta} \right|_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi} = \frac{271}{12} $
A parte il risultato, che mi pare molto strano, ripetendo il calcolo senza effettuare il cambio di variabili ottengo un risultato diverso e la cosa mi perplime. In che modo posso rappresentare la regione $ D $ come insieme x-semplice o y-semplice? C'è qualche errore nel calcolo qui sopra?
Grazie mille a chi risponderà!
Saluti
