Una sfera su un piano

[memedesimo]

Una sfera, composta da sue semisfere omogenee non identiche (cioè hanno densità diverse), è posta su un piano inclinato di 30 gradi con l'orizzontale. Può la sfera rimanere in equilibrio?

[BMcKmas]

certo che no!

ciao

[gennarob86]

quello che mi chiedo innanzitutto è: qual'è la spiegaizone fisica di perchè una semifera su un piano orizzontale resta in equilibrio???

[SkZ]

su un piano orizzontale, le risultante dellla forza peso della semisfera e della forza vincolare si scompone in una coppia di braccio nullo (quindi non c'e' rotazione) e in una forza applicata al baricentro nulla (non c'e' moto traslatorio)
ovvero (in soldoni) la proiezione verticale del baricentro cade all'interno della zona d'appoggio, o vincolo (che in questo caso e' un punto)

per le due semisfere, non sono tanto convinto che non pssano stare in equilibrio, dato che se la sfera la metto su un piano orizzontale con il "piano di separazione" tangente alle linee di campo, allora la sfera rotola dalla parte della parte piu' densa. Inclinando il piano dovrei riuscire a trovare un punto di equilibrio. Ovviamente serve attrito sia tra le due semisfere che col piano

[Bacco]

Si può tentare mettendo la sfera risultante dall'unione delle semisfere in modo che la superficie di separazione sia ortogonale al piano e alla direzione di massima discesa.

L'inclinazione del piano, in tal caso, deve essere esattamente $ \displaystyle\alpha = arctg (\frac{3}{8} \cdot \frac{\rho_1 -\rho_2}{\rho_1 +\rho_2}) $.

In tal caso serve

$ \mu \geq tg (\alpha ) $.

E' evidente che $ \alpha $ è piccolo...

Il caso $ \rho_1 >> \rho_2 $ è quello di una semisfera in equilibrio su un punto...

Se invece non richiediamo che la superficie tocchi il piano:

in generale serve che la verticale del baricentro risultante stia sulla verticale del punto di contatto. Il baricentro si trova a $ d=\frac{3R(\rho_1 -\rho_2 )}{8(\rho_1 +\rho_2 )} $ dal centro. Osservato ciò, tutto si riduce a risolvere un triangolo noti 2 lati e un angolo.

Ciao

[TADW_Elessar]

$ \displaystyle \alpha = \arctan \left ( \frac{3}{8}\cdot \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}\right ) $

Wow. Hai tempo per una dimostrazione?

[memedesimo]

wow quante risposte che bello!

Dunque: il ragionamento di Skz è secondo me giusto, il fatto è che il piano è troppo inclinato perchè ci sia equilibrio.

Per la spiegazione di Bacco: a quanto ho capito io, come ha detto Skz, basta che la proiezione verticale del baricentro cada all'interno della zona d'appoggio. Quindi la configurazione "migliore" è quella in cui la superficie di separazione è ortogonale all'orizzontale, non al piano inclinato. Perchè dici che non ci può essere equilibrio dei momenti in questo caso?

Mi hai anticipato anche la domanda successiva, che sarebbe stata "a quale angolo massimo è possibile l'equilibrio?" che a me viene leggermene diverso, ovvero arcsin ( 3/8 ), appunto per quello che dicevo prima.

Per arrivare alla formula suppongo che tu abbia trovato la posizione del baricentro di una semisfera integrando.
Si può arrivare ad affermare che la sfera non può stare in equilibrio sul piano di 30 gradi con ragionamenti più qualitativi, senza che ci sia bisogno di integrare.

Per l'angolo limite invece ho dovuto integrare per forza

Ciao

Mattia

[Bacco]

@memedesimo: sì è vero mi ero ridotto a un caso particolare , ora ho editato.

Comunque.... arcsin (8/3)...

[memedesimo]

scusa...volevo dire arcsin( 3/8 )!!

vi invito allora a dimostrarlo in modo più qualitativo, senza calcolarvi il centro di massa di una semisfera! e a postare qualche procedimento

vi do qualche hint per chi lo vuole:

Se l'angolo del piano inclinato è 30° allora il centro di massa deve trovarsi almeno a distanza R/2 dal centro della sfera perchè possa trovarsi sopra il punto di appoggio (perchè?). Perchè il centro di massa della sfera non può essere in R/2, nè più in là di R/2?

[memedesimo]

Nuova domanda per i più appassionati:

Supponiamo ora che il piano inclinato abbia un angolo di 10 gradi.

La posizione di equilibrio è stabile o instabile?

[memedesimo]

Effettivamente senza attrito non avrebbe avuto senso...
Coraggio! l'equilibrio è stabile o instabile?

[memedesimo]

ma...me la sono sognata una risposta di BMcKmas?

[BMcKmas]

certo che no!

ciao

Scusate se insisto, ma a me sembra che il baricentro comune non possa essere lontano dal centro della sfera più di 3/8R e che per un eventuale equilibrio a 30° il baricentro dovrebbe essere a 0.5R=4/8R da cui ...

Forse però c'è qualcosa che non colgo.

ciao

[BMcKmas]

ma...me la sono sognata una risposta di BMcKmas?

no hai ragione, stavo caricando l'arma e mi era partito un colpo prematuro

[BMcKmas]

Effettivamente senza attrito non avrebbe avuto senso...
Coraggio! l'equilibrio è stabile o instabile?

Direi che a zero gradi c'è una posizione stabile e una instabile, per ogni altro angolo (compreso 10°) anche se c'è attrito sufficiente, mi sa che non esistono configurazioni stabili