limite

[piazza88]

suggerimenti per calcolare questo limite
$ \lim\ln(1-x)/e^{-1/x} $, per $ x\longrightarrow0+ $

[DarkSepiroth]

Dunque dunque, il limite si presenta in forma intederminata $ \[ \frac{0}{0} \] $. Effettuiamo il cambio di variabile $ y = \frac{1}{x} $ e allora il limite diventa $ \lim_{y \rightarrow +\infty} \frac{log(1-\frac{1}{y})}{e^{-y}} $. Usando la formula di De L'Hopital, abbiamo $ lim_{y \rightarrow +\infty} $ $ \frac{ -1/(1 - 1/y)}{e^{-y}} $ $ \frac{1}{y^2} $ = $ lim_{y \rightarrow +\infty} $ $ \frac{-e^y}{y^2 (1- \frac{1}{y})} = -\infty $.

[SkZ]

prima Hopital
$ $\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln(1-x)}{e^{-1/x}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{-x^2}{(1-x)e^{-1/x}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{-x^2}{e^{-1/x}}$ $
poi per semplicita' di visualizzazione $ $t=\frac{1}{x}$ $
$ $\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{-e^{t}}{x^2}$ $

[lukra]

Che andava a qualcosa di negativo era visibile facile.
Poi il problema era capire chi andava + veloce
se il log a zero o l'esponenziale di 1/x a infinito.
Questo lo si poteva capire anche con uno sviluppo in serie di Taylor
ma ammetto che in questo caso non è immediato e meno facie.

[SkZ]

$ $\lim_{x\rightarrow 0^+}e^{1/x}\ln(1-x)=\lim_{x\rightarrow 0^+}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!x^n} \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^kx^k}{k}\quad$ $$ $\approx \lim_{x\rightarrow 0^+}-x\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!x^n}=\lim_{x\rightarrow 0^+}-\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!x^{n-1}}$ $$ $=\lim_{x\rightarrow 0^+}-\left(1+x+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)!x^{n}}\right)$ $

[lukra]

Bravissimo/a, anche per la chiarezza

Inoltre ancora si poteva risolvere calcolando l'ordine
di infinitesimo del denominatore e del numeratore.
Molto simile a quanto fatto con De L'Hopital,
Metodo molto comodo anche nel risolvere equazioni
in modo qualitativo.