Tautologia ha scritto:Usando il principio di induzione dimostrare che, dati n numeri positivi , x1,x2,...,xn con n>=2 tali che il loro prodotto sia uguale a 1 (x1°x2°x3°...°xn=1) si ha che x1+x2+...+xn>=n . Mi sapreste aiutare?
Inizi col dimostrare che $ \frac {a+b}{2} \ge \sqrt {ab} $. Infatti si ha che $ a+b \ge 2\sqrt {ab} $, ovvero $ (a+b)^2 \ge 4ab $, da cui $ (a-b)^2 \ge 0 $ che è vera.
Ora, per induzione, dimostri che $ P_{2^n} $ implica $ P_{2^{n+1}} $.
Ipotesi: $ \displaystyle\frac {x_1+x_2+...+x_{2^n}}{2^n}\ge \sqrt[2^n] {x_1x_2...x_{2^n}} $
Tesi: $ \displaystyle\frac {x_1+x_2+...+x_{2^{n+1}}}{2^{n+1}}\ge \sqrt[2^{n+1}] {x_1x_2...x_{2^{n+1}}} $
Riscrivendo LHS della tesi e applicando l'ipotesi si ottiene $ \displaystyle\frac {\frac{x_1+x_2+...x_n}{2^n}+\frac{x_{2^n+1}+x_{2^n+2}+...+x_{2^{n+1}}}{2^n}}{2}}\ge $$ \frac{\sqrt[2^n]{x_1x_2...x_{2^n}}+\sqrt[2^n]{x_{2^n+1}x_{2^n+2}...x_{2^{n+1}}}}2 $,
da cui, applicando il caso $ n=2 $, si ricava $ LHS\ge\sqrt{\sqrt[2^n]{x_1x_2...x_{2^{n+1}}}}=\sqrt[2^{n+1}]{x_1x_2...x_{2^{n+1}}} $. Questa era proprio la tesi da dimostrare.
Come secondo passaggio dimostri che $ P_{n} $ implica $ P_{n-1} $.
Non sto a scrivere l'ipotesi e la tesi.
$ \displaystyle\frac{x_1+x_2+...+x_{n-1}+\left( \frac{x_1+...+x_n}{n-1} \right)}n\ge\sqrt[n]{x_1x_2...x_{n-1}\left( \frac{x_1+...+x_n}{n-1} \right)} $
ovvero $ \displaystyle\frac{x_1+x_2+...+x_{n-1}}{n-1}\ge\sqrt[n]{x_1x_2...x_{n-1}}\sqrt[n]{\frac{x_1+x_2+...+x_{n-1}}{n-1}} $
e da qui, elevando prima tutto a $ n $, si arriva a
$ \displaystyle\frac{x_1+x_2+...x_{n-1}}{n-1}\ge\sqrt[n-1]{x_1x_2...x_{n-1}} $.QED
Ora che è dimostrato per induzione $ AM\ge GM $, lo applichi al caso in questione:
$ GM=1 $, dunque $ AM\ge 1 $, ovvero $ x_1+x_2+...x_n\ge n $.
PS: questo esercizio mi è servito per imparare a usare le formule LaTeX, dal momento che non erano tanto semplici nè corte...
