Dimostrazione su somma di n numeri

[Tautologia]

Usando il principio di induzione dimostrare che, dati n numeri positivi , x1,x2,...,xn con n>=2 tali che il loro prodotto sia uguale a 1 (x1°x2°x3°...°xn=1) si ha che x1+x2+...+xn>=n . Mi sapreste aiutare?

[MindFlyer]

Ciau e benvenuto nel forum!
Usare il principio d'induzione è dura, secondo me.
Conosci la disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica?

[Tautologia]

Si conosco, però a me interessava dimostrarlo con il principio di induzione, io credo di aver abbozzato una dimostrazione ma non mi da l'idea di generalità, volevo vedere se chi risolveva usava lo stesso mio procedimento...

[FeddyStra]

Usando il principio di induzione dimostrare che, dati n numeri positivi , x1,x2,...,xn con n>=2 tali che il loro prodotto sia uguale a 1 (x1°x2°x3°...°xn=1) si ha che x1+x2+...+xn>=n . Mi sapreste aiutare?

Inizi col dimostrare che $ \frac {a+b}{2} \ge \sqrt {ab} $. Infatti si ha che $ a+b \ge 2\sqrt {ab} $, ovvero $ (a+b)^2 \ge 4ab $, da cui $ (a-b)^2 \ge 0 $ che è vera.
Ora, per induzione, dimostri che $ P_{2^n} $ implica $ P_{2^{n+1}} $.
Ipotesi: $ \displaystyle\frac {x_1+x_2+...+x_{2^n}}{2^n}\ge \sqrt[2^n] {x_1x_2...x_{2^n}} $
Tesi: $ \displaystyle\frac {x_1+x_2+...+x_{2^{n+1}}}{2^{n+1}}\ge \sqrt[2^{n+1}] {x_1x_2...x_{2^{n+1}}} $
Riscrivendo LHS della tesi e applicando l'ipotesi si ottiene $ \displaystyle\frac {\frac{x_1+x_2+...x_n}{2^n}+\frac{x_{2^n+1}+x_{2^n+2}+...+x_{2^{n+1}}}{2^n}}{2}}\ge $$ \frac{\sqrt[2^n]{x_1x_2...x_{2^n}}+\sqrt[2^n]{x_{2^n+1}x_{2^n+2}...x_{2^{n+1}}}}2 $,
da cui, applicando il caso $ n=2 $, si ricava $ LHS\ge\sqrt{\sqrt[2^n]{x_1x_2...x_{2^{n+1}}}}=\sqrt[2^{n+1}]{x_1x_2...x_{2^{n+1}}} $. Questa era proprio la tesi da dimostrare.

Come secondo passaggio dimostri che $ P_{n} $ implica $ P_{n-1} $.
Non sto a scrivere l'ipotesi e la tesi.
$ \displaystyle\frac{x_1+x_2+...+x_{n-1}+\left( \frac{x_1+...+x_n}{n-1} \right)}n\ge\sqrt[n]{x_1x_2...x_{n-1}\left( \frac{x_1+...+x_n}{n-1} \right)} $
ovvero $ \displaystyle\frac{x_1+x_2+...+x_{n-1}}{n-1}\ge\sqrt[n]{x_1x_2...x_{n-1}}\sqrt[n]{\frac{x_1+x_2+...+x_{n-1}}{n-1}} $
e da qui, elevando prima tutto a $ n $, si arriva a
$ \displaystyle\frac{x_1+x_2+...x_{n-1}}{n-1}\ge\sqrt[n-1]{x_1x_2...x_{n-1}} $.QED

Ora che è dimostrato per induzione $ AM\ge GM $, lo applichi al caso in questione:
$ GM=1 $, dunque $ AM\ge 1 $, ovvero $ x_1+x_2+...x_n\ge n $.




PS: questo esercizio mi è servito per imparare a usare le formule LaTeX, dal momento che non erano tanto semplici nè corte...