4n+9 e 9n+1 quadrati perfetti
4n+9 e 9n+1 quadrati perfetti
Trovare tutti gli interi $ $n$ $ per i quali $ $4n+9$ $ e $ $9n+1$ $ sono entrambi quadrati perfetti
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dalferro11
- Messaggi: 105
- Iscritto il: 02 ott 2006, 14:17
Un modo per risolvere la questione è che se sono entrambi quadrati perfetti anche il loro prodotto è un quadrato perfetto.
Quindi si tratta di risolvere un'equazione diofantea di secondo grado...
Quindi si tratta di risolvere un'equazione diofantea di secondo grado...
la mancanza di cultura matematica si manifesta drasticamente nell'eccessiva precisione di calcolo.
K. F. Gauss
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Vi stiamo per presentare l'angolo del dilettante ma... a me viene solo n=40... però mi ho paura di averla fatta troppo facile, quindi sarà sbagliato...
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Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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fur3770
La battuta di furetto non l'ho capita... passando alle cose che hanno senso, lo 0 me lo sono perso in un angolino in cima al foglio... Maledetto vizio di scrivere sempre sullo stesso fogliettino di 2 cm quadrati da oramai non so più quanto tempo. Per la soluzione... 77=7x11 o 1x77 
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Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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Per qualche $ $a, b \in \mathbb {Z}$ $ ho che
$ $\left\{\begin{array}& a^2=9n+1\\& b^2=4n+9\end{array}\Longrightarrow$ $$ $\left\{\begin{array}& a^2-1=9n\\& b^2-9=4n\end{array} $
Dividendo membro a membro, ottengo $ $\frac{a^2-1}{b^2-9} = \frac{9}{4} \, \, \, \Longrightarrow$ $$ $4a^2-4=9b^2-81 \, \, \, \Longrightarrow $ $$ $(2a+3b)(2a-3b)=-77$ $, da cui ricavo
$ $\left\{\begin{array}& 2a+3b=\pm \,\,\,\,1,\,\, 7,11,77\\& 2a-3b=\mp \,\,\,\,77,11,\,\,7,\,\,1\end{array}$ $ e viceversa $ $\left\{\begin{array}& 2a-3b=\pm \,\,\,\,1,\,\, 7,11,77\\& 2a+3b=\mp \,\,\,\,77,11,\,\,7,\,\,1\end{array}$ $
Il secondo gruppo di sistemi è ovviamente identico al primo. Dunque, il tutto si riduce a sommare membro a membro le equazioni del primo gruppo di sistemi sistema per giungere a $ $a=\{\pm1, \pm19\}$ $ e rispettivamente $ $b=\{\pm3, \pm13\}$ $ da cui le soluzioni $ $n=\{0, 40\}$ $.
EDIT: sommare è un po' meglio di sottrarre :p
$ $\left\{\begin{array}& a^2=9n+1\\& b^2=4n+9\end{array}\Longrightarrow$ $$ $\left\{\begin{array}& a^2-1=9n\\& b^2-9=4n\end{array} $
Dividendo membro a membro, ottengo $ $\frac{a^2-1}{b^2-9} = \frac{9}{4} \, \, \, \Longrightarrow$ $$ $4a^2-4=9b^2-81 \, \, \, \Longrightarrow $ $$ $(2a+3b)(2a-3b)=-77$ $, da cui ricavo
$ $\left\{\begin{array}& 2a+3b=\pm \,\,\,\,1,\,\, 7,11,77\\& 2a-3b=\mp \,\,\,\,77,11,\,\,7,\,\,1\end{array}$ $ e viceversa $ $\left\{\begin{array}& 2a-3b=\pm \,\,\,\,1,\,\, 7,11,77\\& 2a+3b=\mp \,\,\,\,77,11,\,\,7,\,\,1\end{array}$ $
Il secondo gruppo di sistemi è ovviamente identico al primo. Dunque, il tutto si riduce a sommare membro a membro le equazioni del primo gruppo di sistemi sistema per giungere a $ $a=\{\pm1, \pm19\}$ $ e rispettivamente $ $b=\{\pm3, \pm13\}$ $ da cui le soluzioni $ $n=\{0, 40\}$ $.
EDIT: sommare è un po' meglio di sottrarre :p
Tu chiamale, se vuoi, emozioni.
Giusto 
Una semplice variante di calcolo.
Pongo subito:
$ \left\{\begin{array}& (9n+1)\cdot 4 = p^2 \\& (4n+9)\cdot 9 = q^2\end{array}\Longrightarrow $$ $\left\{\begin{array}& 36n+4 = p^2 \\& 36n+81 = q^2\end{array}\Longrightarrow $$ q^2-p^2 = (q-p)(q+p) = 1\cdot 77 = 7\cdot 11 $
Poiché l'influenza del segno si perde nella
determinazione di $ \,\,\,n \left[ =\frac{p^2-4}{36} = \frac{q^2-81}{36}\right] $,
che dev'essere inoltre non negativo, passo
direttamente a:
$ \left\{\begin{array}& q-p = 1\\& q+p = 77\end{array} $
$ \left\{\begin{array}& q-p = 7 \\& q+p = 11\end{array} $
da cui ricavo i due valori di $ \,\,\,n\,\,\, $ già visti.
Una semplice variante di calcolo.
Pongo subito:
$ \left\{\begin{array}& (9n+1)\cdot 4 = p^2 \\& (4n+9)\cdot 9 = q^2\end{array}\Longrightarrow $$ $\left\{\begin{array}& 36n+4 = p^2 \\& 36n+81 = q^2\end{array}\Longrightarrow $$ q^2-p^2 = (q-p)(q+p) = 1\cdot 77 = 7\cdot 11 $
Poiché l'influenza del segno si perde nella
determinazione di $ \,\,\,n \left[ =\frac{p^2-4}{36} = \frac{q^2-81}{36}\right] $,
che dev'essere inoltre non negativo, passo
direttamente a:
$ \left\{\begin{array}& q-p = 1\\& q+p = 77\end{array} $
$ \left\{\begin{array}& q-p = 7 \\& q+p = 11\end{array} $
da cui ricavo i due valori di $ \,\,\,n\,\,\, $ già visti.
Bruno