OliForum Matematico

Trovare tutti gli interi $ $n$ $ per i quali $ $4n+9$ $ e $ $9n+1$ $ sono entrambi quadrati perfetti

Un modo per risolvere la questione è che se sono entrambi quadrati perfetti anche il loro prodotto è un quadrato perfetto.
Quindi si tratta di risolvere un'equazione diofantea di secondo grado...

Vi stiamo per presentare l'angolo del dilettante ma... a me viene solo n=40... però mi ho paura di averla fatta troppo facile, quindi sarà sbagliato...

moebius ha scritto:Vi stiamo per presentare l'angolo del dilettante ma... a me viene solo n=40... però mi ho paura di averla fatta troppo facile, quindi sarà sbagliato...

Non l'ho risolto ma prima di $ $n=40$ $ la più immediata è $ $n=0$ $

moebius ha scritto:Vi stiamo per presentare l'angolo del dilettante ma... a me viene solo n=40... però mi ho paura di averla fatta troppo facile, quindi sarà sbagliato...

tu sei laureato in matematica?


rabbrividisco

moebius ha scritto:Vi stiamo per presentare l'angolo del dilettante ma... a me viene solo n=40... però mi ho paura di averla fatta troppo facile, quindi sarà sbagliato...

posta pure la tua soluzione, perche il risultato e giusto (cioe, le uniche due soluzioni sono 0 e 40)

La battuta di furetto non l'ho capita... passando alle cose che hanno senso, lo 0 me lo sono perso in un angolino in cima al foglio... Maledetto vizio di scrivere sempre sullo stesso fogliettino di 2 cm quadrati da oramai non so più quanto tempo. Per la soluzione... 77=7x11 o 1x77

Per qualche $ $a, b \in \mathbb {Z}$ $ ho che

$ $\left\{\begin{array}& a^2=9n+1\\& b^2=4n+9\end{array}\Longrightarrow$ $$ $\left\{\begin{array}& a^2-1=9n\\& b^2-9=4n\end{array} $

Dividendo membro a membro, ottengo $ $\frac{a^2-1}{b^2-9} = \frac{9}{4} \, \, \, \Longrightarrow$ $$ $4a^2-4=9b^2-81 \, \, \, \Longrightarrow $ $$ $(2a+3b)(2a-3b)=-77$ $, da cui ricavo

$ $\left\{\begin{array}& 2a+3b=\pm \,\,\,\,1,\,\, 7,11,77\\& 2a-3b=\mp \,\,\,\,77,11,\,\,7,\,\,1\end{array}$ $ e viceversa $ $\left\{\begin{array}& 2a-3b=\pm \,\,\,\,1,\,\, 7,11,77\\& 2a+3b=\mp \,\,\,\,77,11,\,\,7,\,\,1\end{array}$ $

Il secondo gruppo di sistemi è ovviamente identico al primo. Dunque, il tutto si riduce a sommare membro a membro le equazioni del primo gruppo di sistemi sistema per giungere a $ $a=\{\pm1, \pm19\}$ $ e rispettivamente $ $b=\{\pm3, \pm13\}$ $ da cui le soluzioni $ $n=\{0, 40\}$ $.

EDIT: sommare è un po' meglio di sottrarre :p

Giusto

Una semplice variante di calcolo.
Pongo subito:


$ \left\{\begin{array}& (9n+1)\cdot 4 = p^2 \\& (4n+9)\cdot 9 = q^2\end{array}\Longrightarrow $$ $\left\{\begin{array}& 36n+4 = p^2 \\& 36n+81 = q^2\end{array}\Longrightarrow $$ q^2-p^2 = (q-p)(q+p) = 1\cdot 77 = 7\cdot 11 $


Poiché l'influenza del segno si perde nella
determinazione di $ \,\,\,n \left[ =\frac{p^2-4}{36} = \frac{q^2-81}{36}\right] $,
che dev'essere inoltre non negativo, passo
direttamente a:


$ \left\{\begin{array}& q-p = 1\\& q+p = 77\end{array} $

$ \left\{\begin{array}& q-p = 7 \\& q+p = 11\end{array} $


da cui ricavo i due valori di $ \,\,\,n\,\,\, $ già visti.