fibo

[jordan]

sia P(i) l'i-esimo termine della successione di fibonacci. dimostrare che vale per ogni m, n interi positivi che: P(n+m)=P(n-1)P(m)+P(n)P(m+1)

[Jacobi]

facciamo una dimo per induzione:

Partendo dal termine generico P(n), vogliamo dimostrare che P(n+m) e' dato dalla suddetta espressione.
Partendo dalla definizione di serie di fibonacci

$ \left\{ \begin{array}{l} P(0)=0\\ P(1)=1\\ P(n)= P(n-1)+P(n-2)\\ \end{array} \right $

Abbiamo:

1) Il caso $ m=1 $ e' triviale

2) ipotesi induttiva: $ P(n+m)= P(n-1)\*P(m)+P(n)\*P(m+1) $

3) Dimostrazione che l'asserto e valido per m+1 basandosi sull'ipotesi induttiva:
$ \ P(n+(m+1))= $ $ \ P(n+(m))+P(n+(m-1)) = $
$ \ P(n-1)\*P(m)+P(n)\*P(m-1) + P(n-1)\*P(m-1)+P(n)\*P(m)= $
$ \ P(n-1)[ P(m)+P(m-1)] +P(n)[ P(m-1)+P(m)]= $
$ P(n-1)P(m+1) +P(n)P((m+1)+1) c.v.d. $

[jordan]

va bene soltanto che devi partire da P(1)=P(2)=1, non l'avevo scritto alle ipotesi