Qualcuno può spiegarmi questo risultato:
$ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left({\frac{n^2+3n-7}{n^2+2n+2}}\right)^{5n}=e^5 $
sarà banale, ma al momento è un problema...grazie!
limite
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killing_buddha
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- Iscritto il: 20 mag 2007, 12:39
se dividi i due polinomi ottieni
$ \displaystyle\frac{n^2+3n-7}{n^2+2n+2} = 1+\frac{n-9}{n^2+2n+2} $
ora raccogli $ ~n $ e hai
$ \displaystyle 1+\frac{n(1-\frac{9}{n})}{n(n+2+\frac{2}{n})} $
passando al limite $ ~9/n $ e $ ~2/n $ sono infinitesimi e semplifichi il tutto in
$ \displaystyle\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{5n} $
a questo punto chiami $ ~n+2=k $ e hai
$ \displaystyle\left(1+\frac{1}{k}\right)^{5k-10} = \displaystyle \frac{\left(1+\frac{1}{k}\right)^{5k}}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^{10}} $
all'infinito il denominatore è 1 e quindi il tuo limite fa $ ~e^5 $
$ \displaystyle\frac{n^2+3n-7}{n^2+2n+2} = 1+\frac{n-9}{n^2+2n+2} $
ora raccogli $ ~n $ e hai
$ \displaystyle 1+\frac{n(1-\frac{9}{n})}{n(n+2+\frac{2}{n})} $
passando al limite $ ~9/n $ e $ ~2/n $ sono infinitesimi e semplifichi il tutto in
$ \displaystyle\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{5n} $
a questo punto chiami $ ~n+2=k $ e hai
$ \displaystyle\left(1+\frac{1}{k}\right)^{5k-10} = \displaystyle \frac{\left(1+\frac{1}{k}\right)^{5k}}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^{10}} $
all'infinito il denominatore è 1 e quindi il tuo limite fa $ ~e^5 $