$ \int_{\gamma} \frac{e^{1/z}}{(z+1)(z-2)^2} dz $ = (*)
dove $ \gamma(t) = \epsilon e^{it} , t\in [0,2 \pi] , \epsilon < 1 $
Osserviamo che $ z_{0} =0 $ è una singolarità essenziale per f(z), in particolare $ e^{1/z} = \sum_{n= 0}^{+\infty} $ $ 1/n! z^n $.
Questa serie di Laurent converge uniformemente sul $ Supp \gamma $ che è un compatto contenuto nell'aperto di convergenza assoluta della serie stessa...
Allora abbiamo che (*) = $ \sum_{n= 0}^{+\infty} \int_{\gamma} \frac{1}{n!z^n(z+1)(z-2)^2} dz. $
Ora osservo che z=0 è un polo di ordine n per ogni $ f_n = \frac{1}{n!z^n(z+1)(z-2)^2} dz. $.
Allora, per ogni n, se chiamo $ g(z) = \frac{1}{(z+1)(z-2)^2} $, posso calcolare l'integrale di $ f_n $ su $ \gamma $, che è uguale a $ 2 \pi i g^{(n-1)}(0) /n! $, cioè $ 2 \pi i Res_0 (f) $...però a questo punto come concludo? Ho provato a trovare formule esplicite per le derivate successive di g...però ho fallito...
Stavo pensando, non è che c'è un modo MOLTO più semplice di fare l'esercizio?? 