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Gente, mi sto seriamente arrovellando su questo integrale: non riesco a capire se mi manca qualche passaggio per arrivare alla soluzione...

$ \int_{\gamma} \frac{e^{1/z}}{(z+1)(z-2)^2} dz $ = (*)

dove $ \gamma(t) = \epsilon e^{it} , t\in [0,2 \pi] , \epsilon < 1 $

Osserviamo che $ z_{0} =0 $ è una singolarità essenziale per f(z), in particolare $ e^{1/z} = \sum_{n= 0}^{+\infty} $ $ 1/n! z^n $.
Questa serie di Laurent converge uniformemente sul $ Supp \gamma $ che è un compatto contenuto nell'aperto di convergenza assoluta della serie stessa...
Allora abbiamo che (*) = $ \sum_{n= 0}^{+\infty} \int_{\gamma} \frac{1}{n!z^n(z+1)(z-2)^2} dz. $
Ora osservo che z=0 è un polo di ordine n per ogni $ f_n = \frac{1}{n!z^n(z+1)(z-2)^2} dz. $.
Allora, per ogni n, se chiamo $ g(z) = \frac{1}{(z+1)(z-2)^2} $, posso calcolare l'integrale di $ f_n $ su $ \gamma $, che è uguale a $ 2 \pi i g^{(n-1)}(0) /n! $, cioè $ 2 \pi i Res_0 (f) $...però a questo punto come concludo? Ho provato a trovare formule esplicite per le derivate successive di g...però ho fallito... Stavo pensando, non è che c'è un modo MOLTO più semplice di fare l'esercizio??

mumble, se cambi variabile?
$ z\mapsto 1/z $ dovrebbe ridurti la cosa ad un integrale sullo stesso cammino (penso in senso inverso, ma tanto il cammino è quello), ma la singolarità diventa una singolarità "buona".
tanto per dirla in altre parole, calcoli il residuo all'infinito e negli altri due punti, dove le singolarità sono più facili da sbrogliare..

...dunque, c'è una soluzione più semplice...anche se in qualche modo mi asto arrovellando per concludere anche nell'altro modo.
Comunque.

osserviamo che $ lim_{z \rightarrow \infty} f(z) = 0 $, dunque la nostra f è olomorfa in un intorno di $ \infty $. Questo significa che $ Res_{\infty} f = 0 $. Sappiamo che $ Res_0 f + Res_{-1} f + Res_2 f + Res_{\infty} f = 0 $, quindi nel nostro caso $ Res_0 f + Res_{-1} f + Res_2 f = 0 $, quindi $ Res_0 f = -(Res_{-1} f + Res_2 f ) $.
Siccome -1 e 2 sono poli di ordine rispettivamente 1 e 2, i residui in questi punti si calcolano facilmente, e il gioco è fatto, perchè a questo punto abbiamo (*) = $ 2 \pi i Res_0 f. $.

sì, cambia poco la sostanza di quello che ho detto: in pratica guardi quello che succede "fuori" invece di quello che succede "dentro", anche se "dentro" o "fuori" non hanno molto senso per un cammino su una sfera......