per ogni problema risolto (vedi topic 'integrale') ne arriva uno nuovo
...Comunque questa volta la questione è più semplice, credo...
Sia $ \Delta = \{z \in \mathbb{C} , |z|<1 \} $ e sia $ f: \Delta \rightarrow \mathbb{C} $ una funzione olomorfa tale che $ |f(z)|< \frac{1}{|z|} $ per ogni $ z \in \Delta \setminus \{0\}. $
La prima richiesta è :
Sia $ r \in (0,1) , z \in \mathbb{C}, |z| \le r $. Mostra che $ |f(z)|< \frac{1}{r} $.... Questa l'ho mostrata usando le conseguenze del teorema del massimo modulo, sfruttando il fatto che $ ||f||_{D_r(0)} = ||f||_{\partial D_r(0)} = ||f||_{|z|=r} $ , se $ D_r(0) $ è la palla di centro 0 e raggio r chiusa, e la richiesta discende dalle proprieta del modulo della nostra f.
La seconda richiesta mi è veramente poco chiara, e infatti nn riesco a dimostrarla:
Mostra che $ |f(z)| \le 1 $ per ogni $ z \in \Delta $. Io pensavo di lavorare in qualche modo estendendo f al bordo del disco in senso continuo, però in questo modo non concludo nulla
