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Salve ragazzi...
per ogni problema risolto (vedi topic 'integrale') ne arriva uno nuovo ...
Comunque questa volta la questione è più semplice, credo...

Sia $ \Delta = \{z \in \mathbb{C} , |z|<1 \} $ e sia $ f: \Delta \rightarrow \mathbb{C} $ una funzione olomorfa tale che $ |f(z)|< \frac{1}{|z|} $ per ogni $ z \in \Delta \setminus \{0\}. $

La prima richiesta è :
Sia $ r \in (0,1) , z \in \mathbb{C}, |z| \le r $. Mostra che $ |f(z)|< \frac{1}{r} $.... Questa l'ho mostrata usando le conseguenze del teorema del massimo modulo, sfruttando il fatto che $ ||f||_{D_r(0)} = ||f||_{\partial D_r(0)} = ||f||_{|z|=r} $ , se $ D_r(0) $ è la palla di centro 0 e raggio r chiusa, e la richiesta discende dalle proprieta del modulo della nostra f.
La seconda richiesta mi è veramente poco chiara, e infatti nn riesco a dimostrarla:
Mostra che $ |f(z)| \le 1 $ per ogni $ z \in \Delta $. Io pensavo di lavorare in qualche modo estendendo f al bordo del disco in senso continuo, però in questo modo non concludo nulla

Sia $ z_0\in D(0,1) $. Ora, sai che su $ D(0,|z_0|+a) $ si ha $ |f(z)<1/(|z_0|+a) $ quindi hai che
$ |f(z_0)|\le\dfrac{1}{|z_0|+a} $ per ogni $ a\in[0,1-|z_0|[ $ e dunque, poichè $ \inf\{(|z_0|+a)^{-1}\vert a\in[0,1-|z_0|[\}=1 $, hai che $ |f(z_0)|\le1 $.

Non serve nemmeno che f sia olomorfa: hai $ g:U\to \mathbb{R} $ (continua) e $ \{K_n\}_{n\in\mathbb{N}} $ successione esaustiva per U, inoltre sai che $ \|g\|_{K_n}\leq a_n $. Allora $ f(x)\leq\limsup_{n}a_n $ per ogni x in U.