allora....diciamo che ho una funzione $ \phi $ che "opera" su una variabile reale $ t $ associandole il valore reale $ \phi (t) $, in simboli
$ \phi : t \longrightarrow \phi (t) $
diciamo anche che $ \phi(t) $ è un valore reale costante ($ \phi(t)=costante $).
diciamo poi che ho un'altra funzione, la funzione $ \psi $ che "opera" su un'altra variabile reale, la variabile $ x $, associandole il valore reale $ \psi(x) $, in simboli
$ \psi : x \longrightarrow \psi(x) $
e diciamo anche che di questa $ \psi(x) $ conosco l'espressione analitica, per cui, scelto un $ x_0 $ del dominio di questa funzione $ \psi $ posso determinare $ \psi(x_0) $.
a tutto questo aggiungiamo anche che:
1) la variabile reale $ x $ e la variabile reale $ t $ non dipendono in alcun modo l'una dall'altra;
2) $ \phi(t)=\psi(x) $, ove ciò è possibile perchè, pure essendo le variabili $ x $ e $ t $ non dipendenti tra loro, la scrittua $ \phi(t)=\psi(x) $ non lega le due variabili ma le due immagini di cui una è una costante;
a questo punto vi chiedo tre cose:
a) secondo me, la costante a cui è uguale $ \phi(t) $ è data di volta in volta dai valori $ x $; è giusto?
b) se dico che l'immagine di $ t $ tramite la $ \phi $ è una funzione di $ x $ è un errore?
c) se dico che $ \phi $ oltre ad essere una funzione di $ t $ è anche una funzione di $ x $ è un errore?
vi faccio queste domande e vi chiedo di rispondere a ciascuna di esse perchè un 20 giorni fa abbiamo fatto l'ultimo comito di matematica e c'era un unico gigantesco esercizio che riguardava ste benedette funzioni $ \phi $ e $ \psi $ e per risolvere il quale me ne sono uscito con le considerazioni di cui ai punti a), b), c).....morale della favola: il prof me li ha segnati tutti come errori e mi ha piazzato 4.....mi sciogliete anche le mie ultime riserve su questo 4
grazie
mmmm...mi chiarite questo dubbio?
-
Nonno Bassotto
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Dalla tua uguaglianza, che se non ho capito male vale per ogni scelta di t ed x, puoi dedurre che entrambe le funzioni sono costanti (tieni ferma t e fai variare x).
Le domande che fai non sono molto chiare: se $ \phi $ è costante è costante e basta, quindi no, non è una costante che dipende da x (non è nemmeno funzione di x). L'immagine è un punto e non dipende da x, Per quanto riguarda il fatto se $ \phi $ sia o meno funzione di x: quando si definisce una funzione si deve dare il dominio, e quindi l'argomento. Se il testo dice che è funzione di t non è funzione di x. A volte, per abuso di linguaggio, si può considerare una funzione di t come funzione di (t,x) costante in x.
Le domande che fai non sono molto chiare: se $ \phi $ è costante è costante e basta, quindi no, non è una costante che dipende da x (non è nemmeno funzione di x). L'immagine è un punto e non dipende da x, Per quanto riguarda il fatto se $ \phi $ sia o meno funzione di x: quando si definisce una funzione si deve dare il dominio, e quindi l'argomento. Se il testo dice che è funzione di t non è funzione di x. A volte, per abuso di linguaggio, si può considerare una funzione di t come funzione di (t,x) costante in x.
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il testo del problema mi da la funzione $ \psi $ con la seguente espressione analitica
$ \psi(x)=x^2+x-1 $
mentre dice che il valore $ \phi(t) $ è un valore costante al variare di $ t $ da determinare (alla fine di tutto il problema come ultimo quesito)........
per determinare questa costante il problema ti dice poi che vale l'uguaglianza $ \phi(t)=\psi(x) $.............
a questo punto io rispondo al problema dicendo che
a) il valor della costante non si determina affatto perchè si ha una costante per ogni valore di $ x $....è giusto?
b) l'immagine tramite $ \phi $ di $ t $ è una funzione di $ x $...questo pure me lo ha segnato come errore
c) che la funzione $ \phi $, in virtù di quanto sopra è funzione anche di $ x $....questo è il terzo errore
spero di essere riuscito a farti capire qualche cosa....aspetto impaziente la tua soluzione
$ \psi(x)=x^2+x-1 $
mentre dice che il valore $ \phi(t) $ è un valore costante al variare di $ t $ da determinare (alla fine di tutto il problema come ultimo quesito)........
per determinare questa costante il problema ti dice poi che vale l'uguaglianza $ \phi(t)=\psi(x) $.............
a questo punto io rispondo al problema dicendo che
a) il valor della costante non si determina affatto perchè si ha una costante per ogni valore di $ x $....è giusto?
b) l'immagine tramite $ \phi $ di $ t $ è una funzione di $ x $...questo pure me lo ha segnato come errore
c) che la funzione $ \phi $, in virtù di quanto sopra è funzione anche di $ x $....questo è il terzo errore
spero di essere riuscito a farti capire qualche cosa....aspetto impaziente la tua soluzione
ti anticipo che non c'è nessun'altra condizione che riguardi le funzioni
gli altri punti del problema chiedono di tracciare il grafico della $ \psi $ senza sfruttare le regole della parabola, di determinate il coefficiente angolare della retta per per (7;3) tangente alla parabola, di stabilire quando vale l'area di una parte di piano limitata dalla parabola e da un altro paio di rette e di calcolare con il teorema di archimede l'area di un settore parabolico...e a tutti questi mi trovo (almeno secondo il prof)
gli altri punti del problema chiedono di tracciare il grafico della $ \psi $ senza sfruttare le regole della parabola, di determinate il coefficiente angolare della retta per per (7;3) tangente alla parabola, di stabilire quando vale l'area di una parte di piano limitata dalla parabola e da un altro paio di rette e di calcolare con il teorema di archimede l'area di un settore parabolico...e a tutti questi mi trovo (almeno secondo il prof)
così accontentiamo marco: eccoti il testo integrale del compito (me lo so fatto lasciare dal prof)
Sia assegnata in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico $ Oxy $ la funzione $ \psi $ della variabile $ x $ da $ \mathbb{R} $ in $ \mathbb{R} $ definita dalla seguente espressione analitica:
$ \psi(x)=x^2+x-1 $.
Si risponda ai seguenti quesiti:
1) si studi la funzione e se ne tracci il grafico cartesiano rappresentativo (nota 1 - che sul foglio del compito sta a fondo pagina - la funzione assegnata ha come grafico una parabola: tracciarla con lo studio delle derivate successive e verificare la corretteza delle informazioni derivanti dalle derivate attraverso le consuete regole per tracciare una parabola)
2) si determini la retta $ r $ passante per il punto $ A=(7;3) $ tangente alla parabola
3) calcolare l'area della parte di piano chiusa dalla parabola, dall'asse delle ascisse, dall'asse delle ordinate e dalla retta $ y=6 $
4) si calcoli col teorema di Archimede senza ricorrere al calcolo integrale l'area del settore parabolico avente per estremi i punti $ B=(1;1) $ e $ C=(9;11) $
5) si consideri la funzione $ \phi $ dafinita da $ \mathbb{R} $ in $ \mathbb{R} $ che opera sulla variabile reale $ t $; l'immagine costruita tramite questa funzione della variabile $ t $ è una costante. La variabile $ t $ e la variabile $ x $ non sono dipendenti l'una dall'altra e tra le funzioni $ \phi $ e $ \psi $ esiste la seguente relazione $ \phi(t)=\psi(x) $ (nota 2 - che nel compito è a fondo pagina - si noti che il fatto che la funzione di $ t $ sia una costante è indispensabile perchè possa sustire l'uguaglianza $ \phi(t)=\psi(x) $ senza che questa leghi tra loro le due variabili $ x $ e $ t $). Si determini la costante cui è uguale la funzione $ \phi $.
i quesiti da 1 a 4 non me li ha segnati come errore...ecco come ho risposto al quesito 5):
se sussiste l'uguaglianza assegnata allora il valore della costante cercata è di volta in volta definito da un fissato valore di $ x $: quindi non è possibile determinare nessuna costante (e tutto questo me lo ha segnato come errore, sottolineato in rosso (per il mio prof rosso= errore grave) dal "se" fino all'ultima parola - occorreva proprio!!!)
poi ho aggiunto: quindi possiamo anche dire che l'immagine di $ t $ tramite la $ \phi $ è una funzione di $ x $ (e anche questa considerazione sottolineata in rosso)
in fine ho messo: la funzione $ \phi $, in virtù di quanto prima detto, si può anche ritenere una funzione di $ x $ oltre che di $ t $ (ancora sottolineato in rosso)
morale: 4 al compito....sinceramente credo che le prime due considerazioni siano giuste, mentre la terza non lo è: la terza costituisce un abuso di linguaggio perchè il valore di $ x $ va prefissato e non cambia assieme a $ t $ come in una normale funzione di due variabili
note informative: faccio il liceo e il prof si diverte a creare dei compiti da solo...quindi se vi pare strano il compito non fateci caso: è normale
Sia assegnata in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico $ Oxy $ la funzione $ \psi $ della variabile $ x $ da $ \mathbb{R} $ in $ \mathbb{R} $ definita dalla seguente espressione analitica:
$ \psi(x)=x^2+x-1 $.
Si risponda ai seguenti quesiti:
1) si studi la funzione e se ne tracci il grafico cartesiano rappresentativo (nota 1 - che sul foglio del compito sta a fondo pagina - la funzione assegnata ha come grafico una parabola: tracciarla con lo studio delle derivate successive e verificare la corretteza delle informazioni derivanti dalle derivate attraverso le consuete regole per tracciare una parabola)
2) si determini la retta $ r $ passante per il punto $ A=(7;3) $ tangente alla parabola
3) calcolare l'area della parte di piano chiusa dalla parabola, dall'asse delle ascisse, dall'asse delle ordinate e dalla retta $ y=6 $
4) si calcoli col teorema di Archimede senza ricorrere al calcolo integrale l'area del settore parabolico avente per estremi i punti $ B=(1;1) $ e $ C=(9;11) $
5) si consideri la funzione $ \phi $ dafinita da $ \mathbb{R} $ in $ \mathbb{R} $ che opera sulla variabile reale $ t $; l'immagine costruita tramite questa funzione della variabile $ t $ è una costante. La variabile $ t $ e la variabile $ x $ non sono dipendenti l'una dall'altra e tra le funzioni $ \phi $ e $ \psi $ esiste la seguente relazione $ \phi(t)=\psi(x) $ (nota 2 - che nel compito è a fondo pagina - si noti che il fatto che la funzione di $ t $ sia una costante è indispensabile perchè possa sustire l'uguaglianza $ \phi(t)=\psi(x) $ senza che questa leghi tra loro le due variabili $ x $ e $ t $). Si determini la costante cui è uguale la funzione $ \phi $.
i quesiti da 1 a 4 non me li ha segnati come errore...ecco come ho risposto al quesito 5):
se sussiste l'uguaglianza assegnata allora il valore della costante cercata è di volta in volta definito da un fissato valore di $ x $: quindi non è possibile determinare nessuna costante (e tutto questo me lo ha segnato come errore, sottolineato in rosso (per il mio prof rosso= errore grave) dal "se" fino all'ultima parola - occorreva proprio!!!)
poi ho aggiunto: quindi possiamo anche dire che l'immagine di $ t $ tramite la $ \phi $ è una funzione di $ x $ (e anche questa considerazione sottolineata in rosso)
in fine ho messo: la funzione $ \phi $, in virtù di quanto prima detto, si può anche ritenere una funzione di $ x $ oltre che di $ t $ (ancora sottolineato in rosso)
morale: 4 al compito....sinceramente credo che le prime due considerazioni siano giuste, mentre la terza non lo è: la terza costituisce un abuso di linguaggio perchè il valore di $ x $ va prefissato e non cambia assieme a $ t $ come in una normale funzione di due variabili
note informative: faccio il liceo e il prof si diverte a creare dei compiti da solo...quindi se vi pare strano il compito non fateci caso: è normale
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Ugh... in effetti mica capisco nemmeno io cosa viene chiesto al punto 5.
Credo che sia normale che i professori preparino i loro compiti, ma magari li facessero un po' più sensati... e poi hai preso 4 avendo fatto 4 punti su 5 (quelli che si capisce cosa chiedono) giusti?
Boh, a questo punto sono curioso di sapere se hai qualche compagno che lo ha "risolto giusto", o se il prof ti porta la "soluzione". Tienici aggiornati!
Credo che sia normale che i professori preparino i loro compiti, ma magari li facessero un po' più sensati... e poi hai preso 4 avendo fatto 4 punti su 5 (quelli che si capisce cosa chiedono) giusti?
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per nonnobassotto: non credo sia così complicato capire cosa viene chiesto
ti da una funzione (che si chiama $ \phi $) della variabile $ t $ che appartiene a $ \mathbb{R} $ e tidice che la funzione dà un'immagine che è una costante che appartiene anch'essa all'insieme dei reali.....in buona sostanza è come dire $ y=f(x)=5 $ solo che qui il valore della costante non ce l'hai:$ \phi(t)=costante incognita $
poi ti dice che tra la variabile $ t $ e la variabile $ x $ non deve esserci alcuna relazione: secondo il mio modesto parere è come avere due sistemi di riferimento cartesiani, uno $ Oty_t $ e un'altro $ Oxy_x $ senza poter passare dall'uno all'altro sull'asse delle ascisse - come invece si potrebbe fare se $ x $e e $ y $ fossero legate.............e in virtù del fatto che $ \phi(t) $ è una costante è possibile far valere la relazione $ \phi(t)=\psi(x) $:infatti se $ \phi(t) $ è costante allora posso dire $ \phi(t)=costante \cdot t^0 $ oppure $ \phi(t)=costante+0 \cdot t^{\aplha} $ e in nessuno dei due casi posso dire che per ciascun valore di $ x $ mi trovo un corrispondente valor di $ t $ o viceversa.
sapendo questo e solo questo dei trovare questa benedetta costante....ma non la puoi trovare perchè, fermo restando che vale $ \phi(t)=\psi(x) $, per $ x=2 $ ottieni $ \phi(t)=5 $ mentre per $ x=1 $ ottieni $ \phi(t)=1 $...............quindi è lecito dire che l'immagine di $ t $ tramite $ \phi $ è una funzione di $ x $
forse ho esagerato nel dire che $ \phi $ è funzione anche di $ x $: questo è, come avevi detto tu in un precedente intervento, un abuso di linguaggio: $ x $ va prefissato e mantenuto costante
ti da una funzione (che si chiama $ \phi $) della variabile $ t $ che appartiene a $ \mathbb{R} $ e tidice che la funzione dà un'immagine che è una costante che appartiene anch'essa all'insieme dei reali.....in buona sostanza è come dire $ y=f(x)=5 $ solo che qui il valore della costante non ce l'hai:$ \phi(t)=costante incognita $
poi ti dice che tra la variabile $ t $ e la variabile $ x $ non deve esserci alcuna relazione: secondo il mio modesto parere è come avere due sistemi di riferimento cartesiani, uno $ Oty_t $ e un'altro $ Oxy_x $ senza poter passare dall'uno all'altro sull'asse delle ascisse - come invece si potrebbe fare se $ x $e e $ y $ fossero legate.............e in virtù del fatto che $ \phi(t) $ è una costante è possibile far valere la relazione $ \phi(t)=\psi(x) $:infatti se $ \phi(t) $ è costante allora posso dire $ \phi(t)=costante \cdot t^0 $ oppure $ \phi(t)=costante+0 \cdot t^{\aplha} $ e in nessuno dei due casi posso dire che per ciascun valore di $ x $ mi trovo un corrispondente valor di $ t $ o viceversa.
sapendo questo e solo questo dei trovare questa benedetta costante....ma non la puoi trovare perchè, fermo restando che vale $ \phi(t)=\psi(x) $, per $ x=2 $ ottieni $ \phi(t)=5 $ mentre per $ x=1 $ ottieni $ \phi(t)=1 $...............quindi è lecito dire che l'immagine di $ t $ tramite $ \phi $ è una funzione di $ x $
forse ho esagerato nel dire che $ \phi $ è funzione anche di $ x $: questo è, come avevi detto tu in un precedente intervento, un abuso di linguaggio: $ x $ va prefissato e mantenuto costante
Al liceo per mancanza di tempo di solito si fa una matematica essenziale e non adeguatamente consolidata con basi certe. In particolare, spesso non si danno definizioni del tutto precise. Per questo motivo spesso sorgono interrogativi paradossali.
Nel tuo caso si parla di variabili e di funzioni. Non ho una preparazione ferrea in logica matematica, ma sono quasi sicuro che non esista una definizione precisa di "variabile" come ente matematico; in particolare non è chiaro cosa voglia dire esattamente che le variabili non sono dipendenti. Esiste però una definizione di funzione (che non ti dò per non annoiarti) in base alla quale ha senso porre la relazione $ \phi=\psi $, ovvero, visto che è lo stesso, $ \forall x\in\mathbb R,\ \phi(x)=\psi(x) $.
Certamente non è questo che intendeva il tuo prof quando ha scritto:
Personalmente non riesco nemmeno ad intuire quale fosse in concetto che aveva in mente. Qualcuno ha delle idee?
Nel tuo caso si parla di variabili e di funzioni. Non ho una preparazione ferrea in logica matematica, ma sono quasi sicuro che non esista una definizione precisa di "variabile" come ente matematico; in particolare non è chiaro cosa voglia dire esattamente che le variabili non sono dipendenti. Esiste però una definizione di funzione (che non ti dò per non annoiarti) in base alla quale ha senso porre la relazione $ \phi=\psi $, ovvero, visto che è lo stesso, $ \forall x\in\mathbb R,\ \phi(x)=\psi(x) $.
Certamente non è questo che intendeva il tuo prof quando ha scritto:
Quello che ha scritto, così com'è scritto (anche con i commenti e le note attorno) non vuol dire niente di preciso. Forse quello che manca sono i quantificatori ($ \forall, \exists $), ma chi può dirlo?pinco ha scritto:tra le funzioni $ \phi $ e $ \psi $ esiste la seguente relazione $ \phi(t)=\psi(x) $
Personalmente non riesco nemmeno ad intuire quale fosse in concetto che aveva in mente. Qualcuno ha delle idee?
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Non è che non capisca cosa viene chiesto, è che matematicamente non ha senso.pinco ha scritto:per nonnobassotto: non credo sia così complicato capire cosa viene chiesto
Il tuo professore non specifica per quali valori di x e t valga la relazione. Di solito se uno non specifica, si assume che abbia sottinteso che vale per ogni scelta di x e t; nel tuo problema però si arriva ad un assurdo, perché l'unico caso in cui tale relazione può valere è se entrambe le funzioni sono costanti.
Quindi probabilmente il tuo professore aveva in testa qualcos'altro, che però nessuno di noi riesce a decifrare. Ecco perché dico che non capisco cosa voglia il tuo professore.
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mmmmm....mistero.....secondo me $ \phi(t)=\psi(x) $ associato al fatto che $ \phi(t)=costante $ vuole dire che la costante è determinata dalle $ x $ che uno va a mettere in $ \psi(x) $: cioè, fisso un valore di $ x $ lo metto di in $ \psi(x)=x^2+x-1 $ e ottengo un valore $ h \in \mathbb{R} $, questo valore è quello che da l'espressione di $ \phi(t) $: $ \phi(t)=h $..............questo è il senso che io gli do e se questo è il senso allora le mie considerazioni (tranne la terza - cioè $ \phi $ funzione sia di $ x $ che di $ t $) sono giuste: almeno su questo ho ragione?