Ideale di anello commutativo

[Ani-sama]

Sia $ $A $ un anello commutativo, $ $a $ un elemento di $ $A $ e

$ \mathrm{Ann}\, a = \{ b \in A : ab=0 \} $

1) Verificare che $ \mathrm{Ann}\, a $ è un ideale di $ $A $;
2) Assumendo che $ \mathrm{Ann}\, a $ sia un ideale primo e che $ a^2 \neq 0 $, dimostrare che $ \mathrm{Ann}\, a = \mathrm{Ann}\, a^n \quad \forall n \in \mathbb{N} $.

Buon lavoro!

[fph]

Sicuro del punto 2? Per esempio in $ \mathbb Z /p^3\mathbb Z $ gli annullatori di $ p $ e delle sue potenze sono abbastanza diversi...

[Ani-sama]

Oddio Io quel problema non l'ho certo inventato. L'ho copiato così come era scritto (volendo, ecco la fonte). Più non so, io l'ho fatto e la dim. sembrava tornare.

[ma_go]

2) Assumendo che $ \mathrm{Ann}\, a $ sia un ideale primo e che $ a^2 \neq 0 $, dimostrare che $ \mathrm{Ann}\, a = \mathrm{Ann}\, a^n \quad \forall n \in \mathbb{N} $.

fph, ti è sfuggito un primo che potrebbe avere a che fare con la soluzione ^^
direi che $ \mathrm{Ann}\, p $ non è un ideale primo, nel tuo caso..

ps. ho controllato, ed effettivamente torna anche il secondo punto..

[fph]

2) Assumendo che $ \mathrm{Ann}\, a $ sia un ideale primo e che $ a^2 \neq 0 $, dimostrare che $ \mathrm{Ann}\, a = \mathrm{Ann}\, a^n \quad \forall n \in \mathbb{N} $.

fph, ti è sfuggito un primo che potrebbe avere a che fare con la soluzione ^^

ehm...gi\`a...

[hydro]

Sia $ $A $ un anello commutativo, $ $a $ un elemento di $ $A $ e

$ \mathrm{Ann}\, a = \{ b \in A : ab=0 \} $

1) Verificare che $ \mathrm{Ann}\, a $ è un ideale di $ $A $;
2) Assumendo che $ \mathrm{Ann}\, a $ sia un ideale primo e che $ a^2 \neq 0 $, dimostrare che $ \mathrm{Ann}\, a = \mathrm{Ann}\, a^n \quad \forall n \in \mathbb{N} $.

Buon lavoro!

1) siano $ b,c \in \mathrm{Ann}\, a $
$ a(b-c)=ab-ac=0-0=0 \implies b-c \in \mathrm{Ann}\, a $

sia $ h \in A $, $ b \in \mathrm{Ann}\, a $
$ a(bh)=(ab)h=0h=0 \implies bh \in \mathrm{Ann}\, a $

Perciò $ \mathrm{Ann}\, a $ è un ideale di A

2) ovviamente $ \mathrm{Ann}\, a \subseteq \mathrm{Ann}\, a^n $, infatti se $ b \in \mathrm{Ann}\, a \implies ab=0 \implies a^{n-1}(ab)=a^{n-1}0=0 $$ \implies a^nb=0 \implies b \in \mathrm{Ann}\, a^n $
viceversa, sia $ b \in \mathrm{Ann}\, a^n \implies a^nb=0 \implies a(a^{n-1}b)=0 \implies a^{n-1}b \in \mathrm{Ann}\, a $. Ora, essendo $ \mathrm{Ann}\, a $ primo, o $ b \in \mathrm{Ann}\, a $ e abbiamo concluso, oppure $ a^{n-1} \in \mathrm{Ann}\, a \implies aa^{n-2} \in \mathrm{Ann}\, a $ e quindi ancora o $ a \in \mathrm{Ann}\, a $, ma ciò è assurdo poichè vorrebbe dire $ a^2=0 $, oppure $ a^{n-2} \in \mathrm{Ann}\, a $ e quindi si può reiterare il procedimento conludendo che dev'essere $ b \in \mathrm{Ann}\, a $ dunque $ \mathrm{Ann}\, a^n \subseteq \mathrm{Ann}\, a $ e quindi $ \mathrm{Ann}\, a = \mathrm{Ann}\, a^n $