esercizio sulle successioni di funzioni e sulle metriche

[pinco]

allora ...

$ d(u,v)=\int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx $ è una metrica sull'insieme delle funzioni reali di variabile reale continue sull'intervallo $ [-1,1] $. detto $ C^0[-1,1] $ l'insieme delle funzioni reali di variabile reale continue sull'intervallo $ [-1,1] $ e detto $ (C^0[-1,1],d) $ lo spazio dotato della distanza introdotta per mezzo della suddetta metrica, dimostrare che questo spazio non è completo: dimostare cioè che esistono successioni di funzioni in $ C^0[-1,1] $ che convergono, però la funzione limite non sta in $ C^0[-1,1] $, cioè non è continua.

mi aiutate

[Martino]

La successione $ (f_n)_{n \geq 1} $ definita da:

$ f_n(x)=-n(x+1)+1 $ per $ x \in [-1,-1+\frac{1}{n}] $
$ f_n(x)=0 $ per $ x \in [-1+\frac{1}{n},1] $

dovrebbe funzionare.

[Nonno Bassotto]

Quella che dici tu converge a 0, che continua. Io mi limito ad un suggerimento: guarda qual'è la forma della funzione di Martino e prova a costruire una successione di funzioni continue che converga in quella metrica alla funzione sgn(x).

[Martino]

Cioe' dici che L^1 consiste di classi di funzioni (modulo il "coincidere quasi ovunque"), e quando ci si chiede se il sottospazio C delle classi delle funzioni continue e' completo, fissata una successione si va in cerca di un rappresentante continuo? Oppure semplicemente non si considerano le classi, ma le funzioni vere e proprie, e si dice che una successione ha limite continuo se uno dei limiti e' continuo (perche' L^1 non e' uno spazio metrico: non ho unicita' del limite)?

Forse devo rispolverare un po' di analisi..

Ciao.

[Nonno Bassotto]

Il fatto e' che tra i rappresentanti in L^1 del limite nel tuo esempio c'e' una funzione continua (0). Quindi non dai un esempio in cui delle funzioni continue non hanno un limite continuo per quella metrica,

[Martino]

Il fatto e' che tra i rappresentanti in L^1 del limite nel tuo esempio c'e' una funzione continua (0). Quindi non dai un esempio in cui delle funzioni continue non hanno un limite continuo per quella metrica,

Esatto, quello che intendevo dire