Sia G un gruppo additivo abeliano finito.
Dimostrare che ogni elemento di G e' rappresentabile in maniera unica (a meno dell'ordine) come somma di elementi di G il cui ordine e' una potenza di primo.
EDIT: ops, in effetti hai anche un po' ragione edriv, mi sono scordato di dire che gli ordini degli addendi sono a due a due coprimi.
scomposizione di un gruppo abeliano finito
scomposizione di un gruppo abeliano finito
Ultima modifica di piever il 20 giu 2007, 20:03, modificato 2 volte in totale.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
beh è noto che se |G|=n (con G abeliano), per ogni divisore r di n esiste un sottogruppo di ordine r. Inoltre, se n=rs con $ \gcd(r,s)=1 $, il sottogruppo $ R=\{x \in G : rx=0 \} $ è l'unico sottogruppo di ordine r (è la cosiddetta "inversione del teorema di Lagrange", valida solo per i gruppo abeliani). Quindi se $ n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_s^{\alpha_s} $ con i p_j primi distinti, allora esistono e sono unici in G s sottogruppi $ P_i=\{x \in G : p_i^{\alpha_i}x=0 \}, i=1,\cdots ,s $. Ora è ovvio che $ P_i \cap P_j =\{ 0 \} \forall i \neq j $ infatti l'intersezione di due sottogruppi è un sottogruppo di ognuno dei due sottogruppi, pertanto per Lagrange l'ordine dell'intersezione divide gli ordini dei due sottogruppi che si stanno intersecando, e $ i \neq j \implies \gcd(|P_i|,|P_j|)=1 $. Da questo segue che $ P_i \cap \left( P_1 + P_2 + \cdots + P_{i-1} + P_{i+1} + \cdots + P_s \right) = \{ 0 \} $. Inoltre tutti i P_i sono normali in G perchè G è abeliano, pertanto G è somma diretta dei P_i, pertanto pgni elemento di G si scrive in un unico modo come somma di elementi dei P_i, e questi elementi hanno ordini coprimi a due a due.