integrale definito

[fricke]

Salve. Nel calcolo di un integrale

$ \displaystyle \int_{0}^{\pi}{e^{at}\cos{(kt)}dt} $

ho pensato di procedere in questa maniera

$ \displaystyle \int{e^{at}\cos{(kt)}dt} = \displaystyle = \frac{e^{at}}{a}\cos{(kt)} + k\int{\frac{e^{at}}{a}\sin{(kt)} dt}= \displaystyle = \frac{e^{at}}{a}\cos{(kt)} +k\frac{e^{at}}{a^2}\sin{(kt)} -\frac{k^2}{a^2}\int{e^{at}\cos{(kt)} dt} $

da cui si ha


$ $\displaystyle \left(1+\frac{k^2}{a^2}\right)\int_{0}^{\pi}{e^{at}\cos{(kt)} dt} = \left[\frac{e^at}{a}\cos{(kt)} +\frac{k}{a^2}e^{at}\sin{(kt)} +c\right]_{0}^{\pi}= $

è giusto il risultato ???

$ \displaystyle =e^{a\pi}\frac{a^2}{a^2+k^2}\frac{(-1)^k}{a} $

perchè c'è qualcosa che non mi torna...

[pic88]

La cosa vale se k è un intero. Ovviamente tu intendevi
$ \displaystyle \left[\frac{e^{at}}{a}\cos{(kt)} +\frac{k}{a^2}e^{at}\sin{(kt)} +c\right]_{0}^{\pi} $ nella penultima espressione.

[fricke]

La cosa vale se k è un intero. Ovviamente tu intendevi
$ \displaystyle \left[\frac{e^{at}}{a}\cos{(kt)} +\frac{k}{a^2}e^{at}\sin{(kt)} +c\right]_{0}^{\pi} $ nella penultima espressione.

si, precisamente, hai ragione, ho omesso di dire che k è un naturale... c'è una cosa che non mi torna:

siccome e dare contributo al risultato è solo
$ \displaystyle\frac{e^{at}}{a}\cos{(kt)} $
non riesco a capacitarmi del perchè
$ \displaystyle\frac{e^{a\pi}}{a}\cos{(k\pi)-\frac{e^{a0}}{a}\cos{(k0)} =e^{a\pi}\frac{(-1)^k}{a} $

forse ho un abbaglio micidiale, ma non mi torna proprio, perchè mi resta sempre fuori un -1/a.... o sbaglio???

[pic88]

si è vero quel che dici, il risultato del primo post è sbagliato, il risutato giusto è proprio:

$ \displaystyle \left(e^{a\pi}\frac{(-1)^k}{a}-\frac{1}{a}\right)\left( \frac{a^2}{a^2+k^2}\right) $