Diofantea gustosa...

[Simo_the_wolf]

Trovare tutte le coppie di interi $ (x,y) $ tali che:

$ \displaystyle xy + \frac { x^3+y^3} 3 = 2007 $

[platz]

Ciao

Il primo membro deve essere dispari come 2007 e quindi somma di un pari e un dispari.
- Se xy è pari allora x^3 + y^3 è dispari e quindi uno solo tra x e y è pari.
- Se a essere pari fosse x^3 + y^3 allora avremmo che sono o entrambi pari (e quindi il loro prodotto è pari e ciò non va bene) o entrambi dispari (ma il loro prodotto sarebbe dispari). Quindi solo xy è pari.

Inoltre considerando le congruenze modulo 9 per xy e 27 per (x^3 + y^3)/3 posso giungere a un'equazione in cui ho che ab + b^3 + a^3 = 223 dove a =3x e b= 3y.

Però da qui ad azzeccare il raccoglimento giusto...

[julio14]

(ma il loro prodotto sarebbe dispari)

e che c'è di male? dispari+pari=dispari
Su questa strada l'unica cosa che puoi dimostrare credo che sia che almeno uno di due è dispari, altro dubito proprio...

[platz]

e che c'è di male? dispari+pari=dispari

già già
xò raccogliere mi sembra impresa ardua

[platz]

Io ho provato ma nulla..
quali sono le coppie??
o almeno un aiuto!!

[darkcrystal]

( 3,18 )

Ciao!

[edriv]

Non ci interessa il risultato... solo il numero di casi che ti sei fatto

[darkcrystal]

Mah, nemmeno troppi... ma non chiedermi di postarli

[platz]

ok ok il risultato è anche abbastanza carino, ma non vorrete mica dirmi che si risolveva buttando brutalmente dentro dei numeri scelti non proprio a caso??

[darkcrystal]

Beh penso che ormai non si offenda più nessuno se do un'indicazione...
$ 3xy + x^3 + y^3 = 2007 * 3 $
sommiamo da tutte due le parti 3x^2y + 3xy^2
$ 3xy + (x+y)^3 = 3*2007 +3xy(x+y) $ e chiamiamo s=x+y e p=xy
$ 3p+s^3=3*2007 + 3ps \leftrightarrow 3p(s-1)=-3*2007+s^3 $$ \leftrightarrow (s-1) | s^3-3*2007 $$ \leftrightarrow (s-1) | (1-3*2007) $, e quindi c'è solo un numero finito di casi... però devi ottimizzarli un po'

[platz]

grazie mille per l'aiuto