secondo voi esiste una successione di funzioni reali di variabile reale covergente puntualmente alla funzione di dirichlet e tale che ogni funzione di questa successione è integrabile secondo riemann sull'intervallo reale $ [0;1] $?
è da un poco di tempo che ci penso ma niente...
successioni che tendono alla dirichlet
beh, sì: basta prendere la successione di funzioni $ \chi_1, \chi_1+\chi_2,\chi_1+\chi_2+\chi_3,\dots $, dove ciascun addendo fa 1 su un diverso razionale (e li scegliamo di modo che tutti i razionali vengano coperti).
la domanda più interessante è.. esiste una successione di funzioni continue che convergano alla funzione di dirichlet?
la domanda più interessante è.. esiste una successione di funzioni continue che convergano alla funzione di dirichlet?
perdona la mia incapacità ma faccio l'ultimo anno di liceo quindi sto facendo sta cosa per puro diletto senza sapere niente di preciso su successioni di funzioni, convergenza puntuale, convergenza uniforme e integrabilità delle funzioni (al liceo le integriamo e basta), quindi ai miei limiti strutturali si sommano quelli di preparazione
com'è che di preciso definisci la tua successione?
com'è che di preciso definisci la tua successione?
, è questo il punto.
mmm.. ah beh! Mi sembrava abbastanza misteriosa come formula...
Comunque con quel che so di analisi so che non esiste una successione di funzioni continue continue che converga uniformemente a una funzione non continua, ma qua si sta parlando di convergenza puntuale quindi non sarei troppo sicuro di dare una risposta negativa al quesito...
Comunque con quel che so di analisi so che non esiste una successione di funzioni continue continue che converga uniformemente a una funzione non continua, ma qua si sta parlando di convergenza puntuale quindi non sarei troppo sicuro di dare una risposta negativa al quesito...
Questa mi era sfuggita...cmq la risposta è no.ma_go ha scritto: la domanda più interessante è.. esiste una successione di funzioni continue che convergano alla funzione di dirichlet?
Se una funzione è limite puntuale di funzioni continue, essa ha almeno un punto di continuità in ogni intervallo chiuso non banale.
E la nostra dirichlet non è certo fatta così ...