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successioni che tendono alla dirichlet
Inviato: 29 giu 2007, 14:41
da pinco
secondo voi esiste una successione di funzioni reali di variabile reale covergente puntualmente alla funzione di dirichlet e tale che ogni funzione di questa successione è integrabile secondo riemann sull'intervallo reale $ [0;1] $?
è da un poco di tempo che ci penso ma niente...
Inviato: 29 giu 2007, 15:42
da ma_go
beh, sì: basta prendere la successione di funzioni $ \chi_1, \chi_1+\chi_2,\chi_1+\chi_2+\chi_3,\dots $, dove ciascun addendo fa 1 su un diverso razionale (e li scegliamo di modo che tutti i razionali vengano coperti).
la domanda più interessante è.. esiste una successione di funzioni continue che convergano alla funzione di dirichlet?
Inviato: 29 giu 2007, 15:45
da pinco
ma così le funzioni della successione non sono integrabili sull'intervallo $ [0;1] $...o sbaglio?
Inviato: 29 giu 2007, 16:12
da albert_K
ma_go ha scritto:
la domanda più interessante è.. esiste una successione di funzioni continue che convergano alla funzione di dirichlet?
Il problema per me è parecchio difficile, però wikipedia pare rispondere di sì a questa domanda....
Inviato: 29 giu 2007, 16:31
da ma_go
uhm..
@pinco: tutte le funzioni hanno un numero finito di discontinuità, quindi sono integrabili: cosa non torna?
se proprio vuoi, dimostri l'integrabilità a manina, non è difficile..
@albert_K: ne siamo sicuri?
Inviato: 29 giu 2007, 17:08
da pinco
perdona la mia incapacità ma faccio l'ultimo anno di liceo quindi sto facendo sta cosa per puro diletto senza sapere niente di preciso su successioni di funzioni, convergenza puntuale, convergenza uniforme e integrabilità delle funzioni (al liceo le integriamo e basta), quindi ai miei limiti strutturali si sommano quelli di preparazione
com'è che di preciso definisci la tua successione?
Inviato: 29 giu 2007, 18:06
da albert_K
ma_go ha scritto:uhm..
@albert_K: ne siamo sicuri?
No, per niente
, è questo il punto.
Ho solo trovato su wikipedia questa formula qua:
Inviato: 30 giu 2007, 20:45
da ma_go
quello non è un limite di funzioni continue
è un limite di limiti di funzioni continue.
Inviato: 01 lug 2007, 14:43
da albert_K
mmm.. ah beh! Mi sembrava abbastanza misteriosa come formula...
Comunque con quel che so di analisi so che non esiste una successione di funzioni continue continue che converga uniformemente a una funzione non continua, ma qua si sta parlando di convergenza puntuale quindi non sarei troppo sicuro di dare una risposta negativa al quesito...
Inviato: 02 lug 2007, 14:57
da EvaristeG
ma_go ha scritto:
la domanda più interessante è.. esiste una successione di funzioni continue che convergano alla funzione di dirichlet?
Questa mi era sfuggita...cmq la risposta è no.
Se una funzione è limite puntuale di funzioni continue, essa ha almeno un punto di continuità in ogni intervallo chiuso non banale.
E la nostra dirichlet non è certo fatta così ...