(x)^(x) ovvero "x elevato alla x"

[Sprup983]

Qualcuno di voi ha mai provato a vedere cosa succede calcolando questa funzione per i numeri NON INTERI <0 ???
A me succede una cosa strana, se il numero non è intero un computer/calcolatrice va in panico e dà errore.

il problema soprattutto salta all'occhio per numeri che sono dispari. Prendiamo per es. -0,3 non essendo intero appare errore.
Scomponendolo in frazione succede la stessa cosa: sarebbe (-3/10)^(-3/10) in quanto radice positiva di un numero negativo elevato a potenza negativa, e quindi radice positiva di un numero negativo, che giustamente dà errore.

se però modifichiamo l'esponente, moltiplicandolo per 2 e dividendolo per 2, dovrei ottenere (-3/10)^(-6/20) che il pc/calcolatrice si rifiuta di calcolare, però in teoria apparirebbe come radice positiva di un numero positivo, perché numero negativo elevato a potenza positiva, quindi teoricamente è risolvibile.
Ora, a parte il fatto che il computer non lo calcola perché probabilmente non ragione in frazioni ma in numeri decimali, non riesco a capire come sia possibile che devo esere costretto a modificare l'esponente per rendere risolvibile (anche su carta, ovviamente) la funzione, mi suona strana come cosa, e cmq non l'ho mai notata in nessun'altro tipo di funzione matematica.
non credo ci siano errori nel mio ragionamento, cmq volevo chiedere se qualcuno di voi sa darmi una spiegazione logica.
Grazie mille

[pic88]

La cosa suona (è) talmente strana che l'elevamento a potenze non intere di numeri negativi non è definito.

[Sprup983]

Non capisco cosa intendi dire.
Non è definito matematicamente parlando nel senso che non ci sono teoremi, assiomi, o qualunque altra legge matematica che regola l'elevamento a potenze non intere di numeri negativi?

Intendo che se dovessi studiare una funzione del genere o una qualunque altra funzione del tipo x^x, non posso fare altro che studiarla (almeno nel semiasse negativo) per punti?

[edriv]

Secondo te quanto fa $ ~ (-1)^{\pi} $ ?

[salva90]

Secondo te quanto fa $ ~ (-1)^{\pi} $ ?

per me fa $ ~i^{2\pi} $

[edriv]

E secondo me fa $ ~ ((-1)^2)^{\frac{\pi}2} $, cioè $ ~ 1^{\frac\pi 2} $, cioè 1.

Magari, secondo qualcuno, $ ~ (-1)^{\pi} = (-1)^{(\pi-1) + 1} = $$ (-1)^{\pi-1} \cdot (-1)^1 = ((-1)^2)^{\frac{\pi-1}2} \cdot (-1)^1 = 1\cdot -1 = -1 $,

Molto intelligente come cosa.

[ma_go]

mi intrometto un attimo nella discussione, per giustificare un po' quello che sta dicendo edriv.

cominciamo da un problema più "semplice": ovvero definire le potenze razionali di un reale.
allora, sappiamo benissimo definire le potenze intere, e questo ok. il problema ora sono i reali negativi: i positivi sono "chiusi" per potenze, e lì si può definire una sorta di funzione "radice n-esima" per ogni n, avendo cura di stare sui reali positivi.
si dimostra che questa funzione "radice n-esima", definita con cura, è unica e funziona bene, ha gli inversi giusti ecc ecc.

cosa succede se cerchiamo di guardare al di qua dello 0? succede che la funzione "radice quadrata" (e quindi tutte le radici pari) è "mal definita" come inversa della funzione "elevamento al quadrato": in sostanza, siccome (-a)^2 = a^2, non possiamo definire univocamente la radice di a^2 come l'inverso dell'operazione di elevamento al quadrato.

questo poi fa saltare tutto il discorso che ci gira intorno, perché se vogliamo salvare il fatto che le radici si comportano bene con l'elevamento a potenza, siamo in grossissimi guai, e saltano fuori i pasticci come quelli che illustra edriv.

la cosa più saggia da fare, è semplicemente definire la cosa sui reali positivi (per cui si parla delle radici n-esime, delle potenze m/n-esime) senza alcuna ambiguità, e parlare di "una radice n-esima" estendendo la nostra attenzione al campo dei numeri complessi (per questo rimando al glossario).

adesso, abbiamo una bella funzione "elevamento a potenza q-esima" per q razionale: possiamo estendere la cosa a potenze reali sfruttando la densità dei razionali, ovvero prendendo il limite delle potenze q-esime per q che tenda ad r, e definire (verificandone la buona definizione) in questo modo la funzione "potenza r-esima".

non sono stato troppo chiaro, ma spero che qualcosa si capisca..

[Sprup983]

Molto intelligente come cosa

con questo intendi che il ragionamento che faccio io di moltiplicare e dividere per 2 è sbagliato o, come ha detto pic88, vuoi dire che "che l'elevamento a potenze non intere di numeri negativi non è definito", e la non unicità della soluzione è solo un altro problema che salta fuori usando una funzione di questo tipo in campo negativo?

...estendendo la nostra attenzione al campo dei numeri complessi.

ok, ma allora mettiamo il caso che io voglia rappresentare su un piano cartesiano una funzione di questo tipo: in campo positivo non avrò nessun problema, la posso trattare come una normalissima funzione esponenziale, ma non posso certo dire che per i numeri <0 la funzione non esiste, però allora che andamento avrà la funzione in campo negativo?

P.S. grazie a tutti per le risposte in ogni caso

[edriv]

con questo intendi che il ragionamento che faccio io di moltiplicare e dividere per 2 è sbagliato o, come ha detto pic88, vuoi dire che "che l'elevamento a potenze non intere di numeri negativi non è definito"?

Voglio appunto giustificare il fatto che non si definisce l'elevamento a potenze con base negativa.

ok, ma allora mettiamo il caso che io voglia rappresentare su un piano cartesiano una funzione di questo tipo: in campo positivo non avrò nessun problema, la posso trattare come una normalissima funzione esponenziale, ma non posso certo dire che per i numeri <0 la funzione non esiste, però allora che andamento avrà la funzione in campo negativo?

Sai, se la funzione per i reali <0 non l'hai definita, ovvero "non hai nemmeno deciso che funzione è", avrai qualche problema a disegnarla!!