OliForum Matematico

Estrappolato dal kedlaya, USA 1998 se non erro. Mi è parso bellino

Siano $ a_0, \dots, a_n $ reali nell'intervallo $ (0, \frac{\pi}{2}) $ tali che
$ \displaystyle \sum_{i=0}^n \tan(a_i-\frac{\pi}{4})\ge n-1 $.

Provare che
$ \displaystyle \prod_{i=0}^{n} \tan a_i \ge n^{n+1} $

Good Luck by salva

EDIT: chiedo scusa a chi avesse provato senza riuscire a causa del mio errore di battitura

uhm... sono proprio inabile!!
Ti sottopongo il mio dilemma...
Manipolando la sommatoria ottengo $ \displaystyle\sum_{i=0}^{n}\tan\left(a_i-\frac{\pi}{4}\right)=\sum_{i=0}^{n}\frac{\tan a_i-1}{\tan a_i+1}=\sum_{i=0}^{n}\frac{\tan a_i+1-2}{\tan a_i+1}= $$ \displaystyle\sum_{i=0}^{n}\left(1-\frac{2}{\tan a_i+1}\right)=(n+1)-2\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{\tan a_i+1} $.

Ora, dalle ipotesi $ \displaystyle (n+1)-2\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{\tan a_i+1}\geq (n+1) \rightarrow \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{\tan a_i+1}\leq 0 $.
D'altronde gli $ a_i $ appartengono all'intervallo $ \displaystyle\left(0;\frac{\pi}{2}\right) $, essa quindi deve essere non negativa.
Da queste ultime due considerazioni parrebbe di poter concludere che essa vale proprio 0. Ma se la cosa sembra plausibile osservando la prima espressione della sommatoria che hai scritto, non lo sembra più se si considera la somma degli $ \displaystyle\frac{1}{\tan a_i+1} $ (al limite potrebbe tendere a 0)!

Come lo spieghi a un povero inetto quale io sono? Ovverosia... hint?

Mah, in effetti ci sono dei grossi problemi... tanto per dirne una, sommando n+1 termini, per ottenere almeno n+1, devono fare in media almeno 1... ma tan(a-pi/4)<1.

Il risultato che viene a Ponnamperuma, in effetti, sembrerebbe essere giustificato dal fatto che per avere degli 1 bisogna avere a_i=pi/2, e dunque i denominatori fanno tutti +infinito...

Aspettiamo lumi da Salva.

Semplice: ho sbagliato a scrivere il testo, e Ve ne chiedo infinitamente scusa.
Era $ ~n-1 $