Non so perchè ma le idee mi vengono sono a quest'ora...
Non è una dimostrazione completa, ma uno spunto su un possibile metodo.
Magari tutti insieme si arriva a qualcosa di soddisfacente.
Che la configurazione che abbiamo trovato con lunghezza totale dei segmenti di
$ \displaystyle2+\frac{\sqrt2}{2} $ sia sufficente mi sembra sia chiaro.
Ora bisogna dimostrare che è anche la minima giusto?
Prendiamo il solito quadrato con vertice nell'origine e compreso interamente nel
primo quadrante. Ora considero i 4 fasci di rette più significativi, cioè quelli paralleli
agli assi e alle bisettrici dei quadranti.
Se riesco a dimostrare che per "difendere" (io la vedo cosi!
) il quadrato da queste rette mi servono dei segmenti di lunghezza totale minima $ \displaystyle2+\frac{\sqrt2}{2} $ allora sono a cavallo.
I segmenti che uso sono di 4 tipi:
Verticali = (a)
Orizzontali = (b)
Diagonale 1 (Bis 1° e 3° quadr.) = (c)
Diagonale 2 (Bis 2° e 4° quadr.) = (d)
Ogni tipo di segmento fornisce una certa protezione contro i vari fasci :
Diamo un nome anche a queste protezioni:
La protezione nei confronti del fascio verticale la chiamo S
La protezione nei confronti del fascio verticale la chiamo T
La protezione nei confronti del fascio della Bis 1-3 la chiamo Q
La protezione nei confronti del fascio della Bis 2-4 la chiamo R
Un segmento di tipo (a) di lunghezza unitaria fornirà:
0 protezione S,
1 protezione T,
$ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $ protezione Q,
$ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $ protezione R,
Allo stesso modo un segmento di tipo (c), sempre di lunghezza unitaria fornirà:
$ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $ protezione S,
$ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $ protezione T,
0 protezione Q,
1 protezione R.
E cosi via per gli altri tipi... (spero si capisca)
Tutte le protezioni dei vari segmenti per difendere adeguatamente il quadrato dovranno essere:
Protezione S $ \geq1 $
Protezione T $ \geq1 $
Protezione Q $ \geq\sqrt2 $
Protezione R $ \geq\sqrt2 $
Ora il problema è dimostrare che per soddisfare tutte queste condizioni la somma dei segmenti dei vari tipi deve essere $ \displaystyle\geq2+\frac{\sqrt2}{2} $
Io sono arrivato fino a qui...
Purtroppo le varie disuguaglianze hanno soluzione anche se prendiamo questi segmenti:
Tipo (a) lunghezza: $ \displaystyle\frac{1}{2} $
Tipo (b) lunghezza: $ \displaystyle\frac{1}{2} $
Tipo (c) lunghezza: $ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $
Tipo (d) lunghezza: $ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $
Per un totale di solo $ \displaystyle1+\sqrt2 $
ma sono convinto si possa dimostrare che questa soluzione non riesce a difendere adeguatamente il quadrato!
!!! se misuriamo la lunghezza dei segmenti con la distanza discreta, resta vera l'ipotesi che il lato del quadrato è lungo 1, ma disegnando in rosso le due diagonali (che sono entrambe lunghe 1) ho colorato in totale 1+1=2 che è $ <2+\frac{\sqrt{2}}{2} $... 
ok è sufficientemente idiota tutto ciò?! 
