OliForum Matematico

Vi giro questo bel "problemino" propostomi da 3C273:
"Abbiamo un quadrato di lato 1. Vogliamo disegnare dei segmenti rossi (anche disconnessi, e più d'uno può concorrere in un punto, ma interni al quadrato) in modo che per ogni coppia di punti esterni al quadrato, se il segmento che li congiunge interseca il quadrato allora deve intersecare almeno un segmento rosso. Qual'è la disposizione per cui la lunghezza totale dei segmenti rossi è minima?"

P.S.: ne io ne lei conosciamo la "soluzione", quindi iniziate pure a buttare là i vostri migliori risultati
P.P.S.: dovremmo accordarci sulla definizione di "segmento": per adesso diciamo che un segmento è un sottoinsieme del quadrato privo di punti isolati, ma mi riservo di togliere roba all'insieme dei segmenti se dovessero saltar fuori soluzioni poco significative geometricamente

sicuramente è sbagliata comunque

posto il quadrato con un vertice nell'origine e due lati adiacenti sugli assi cartesiani prendiamo il fascio di rette improprio di coefficente angolare 1. A questo punto ci dovrà essere una spezzata che collega il vertice sull'origine a quello opposto e il segmento di minima lunghezza è il segmento di distanza (la diagonale). Con lo stesso procendimento con un fascio di coefficiente angolare -1 dimostramo aggiungiamo anche l'altra diagonale d'altronde non è difficile dimostrare che le due diagonali soddisfano la condizione di intersecare tutti i segmenti. quindi la lunghezza totale dovrebbe essere $ 2 \sqrt{2} $

Questa è la prima soluzione "non banale" (leggi diversa da 4 ) che ci è uscita...
Però si può abbassare...

P.S.: non so se hai notato, mi viene il dubbio leggendo la tua soluzione, ma c'è scritto che i segmenti possono essere anche disconnessi.

Io propongo di prendere 2 lati e la seconda metà della diagonale che parte dal loro vertice in comune...

Quindi $ \displaystyle2+\frac{\sqrt2}{2} $

Avete fatto di meglio?

Ok Zoidberg, noi non abbiamo fatto di meglio: la disposizione che descrivi è la stessa che abbiamo trovato noi... "a naso" sono convinta che non si possa migliorare, però adesso mi piacerebbe dimostrarlo e non so da che parte cominciare!

Io ho un dubbio... se il segmento può essere una curva (e dalla prima definizione che ho dato ci sta dentro di brutto), guadagno qualcosa? Per ora abbiamo pensato tutti a "straight lines"... Boh!
A roba "polverosa" o "densa" non ci voglio nemmeno pensare (almeno per ora)... e rientra comunque in quella roba poco geometrica che intendevo nel primo post, quindi non pensateci nemmeno voi!

Mah, io ci avevo pensato alle curve, ma non sono riuscita a guadagnarci niente... e anche con robe "polverose", anche ammesso di accettarle, mi sa che non ci si guadagna... ma ovviamente potrei sbagliare! Quindi, anche solo per curiosità, se dovessero venirvi in mente soluzioni "polverose" o strane per qualsiasi altro motivo, scrivetele!
E... visto che continua a non venirmi in mente assolutamente niente per dimostrare che la soluzione proposta sia quella che minimizza la lunghezza dei segmenti rossi, in attesa di un'illuminazione ho pensato di...
Io vi avviso, da qui in poi non prendetemi seriamente!
...cambiare la metrica !!! se misuriamo la lunghezza dei segmenti con la distanza discreta, resta vera l'ipotesi che il lato del quadrato è lungo 1, ma disegnando in rosso le due diagonali (che sono entrambe lunghe 1) ho colorato in totale 1+1=2 che è $ <2+\frac{\sqrt{2}}{2} $... ok è sufficientemente idiota tutto ciò?!
No scusate, è che non so da che parte cominciare per dimostrare seriamente che la soluzione proposta è quella minima, e allora sto divagando...
idee

Beh... l'idea direi che è meglio della mia:
"Prendiamo i razionali in [0,1]x[0,1]"
"Ok genio e la linea da $ \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},0\right) $ a $ \displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right) $?"
"...."

All'attenzione dei moderatori:
Mi dicono dalla regia che non si dovrebbero mettere problemi di cui non si conosce la soluzione nella sezione olimpica....
Indi ragion per cui (anche Manzoni ha lavato i panni in Arno, sarà per questo che oramai è marrone...) avrei due proposte:
a) Qualcuno ha una vaga idea di come dimostrare un risultato del genere o ci vuole provare. In tal caso lo mettiamo in MNE.
b) Andare avanti a "discutere" e buttare la' idee più o meno serie (io preferisco la seconda). In tal caso lo metterei in matematica ricreativa.

Se si vota, io voto la seconda
Meno professionale e per come vedo io l'approccio ad un problema, più produttiva, in tutti i sensi

Non so se questo problema abbia una soluzione elementare... in un giornalino si chiedeva di dimostrare (e questo è più accessibile) che la somma delle lunghezze è almeno 2, ma non richiedeva la configurazione minima.
Per chi vuole controllare, comunque, era il problema 9 del giornalino 19.

Ciao!

Non so perchè ma le idee mi vengono sono a quest'ora...

Non è una dimostrazione completa, ma uno spunto su un possibile metodo.
Magari tutti insieme si arriva a qualcosa di soddisfacente.

Che la configurazione che abbiamo trovato con lunghezza totale dei segmenti di
$ \displaystyle2+\frac{\sqrt2}{2} $ sia sufficente mi sembra sia chiaro.

Ora bisogna dimostrare che è anche la minima giusto?

Prendiamo il solito quadrato con vertice nell'origine e compreso interamente nel
primo quadrante. Ora considero i 4 fasci di rette più significativi, cioè quelli paralleli
agli assi e alle bisettrici dei quadranti.

Se riesco a dimostrare che per "difendere" (io la vedo cosi! ) il quadrato da queste rette mi servono dei segmenti di lunghezza totale minima $ \displaystyle2+\frac{\sqrt2}{2} $ allora sono a cavallo.

I segmenti che uso sono di 4 tipi:

Verticali = (a)
Orizzontali = (b)
Diagonale 1 (Bis 1° e 3° quadr.) = (c)
Diagonale 2 (Bis 2° e 4° quadr.) = (d)


Ogni tipo di segmento fornisce una certa protezione contro i vari fasci :

Diamo un nome anche a queste protezioni:
La protezione nei confronti del fascio verticale la chiamo S
La protezione nei confronti del fascio verticale la chiamo T
La protezione nei confronti del fascio della Bis 1-3 la chiamo Q
La protezione nei confronti del fascio della Bis 2-4 la chiamo R

Un segmento di tipo (a) di lunghezza unitaria fornirà:
0 protezione S,
1 protezione T,
$ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $ protezione Q,
$ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $ protezione R,

Allo stesso modo un segmento di tipo (c), sempre di lunghezza unitaria fornirà:
$ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $ protezione S,
$ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $ protezione T,
0 protezione Q,
1 protezione R.

E cosi via per gli altri tipi... (spero si capisca)



Tutte le protezioni dei vari segmenti per difendere adeguatamente il quadrato dovranno essere:

Protezione S $ \geq1 $
Protezione T $ \geq1 $
Protezione Q $ \geq\sqrt2 $
Protezione R $ \geq\sqrt2 $



Ora il problema è dimostrare che per soddisfare tutte queste condizioni la somma dei segmenti dei vari tipi deve essere $ \displaystyle\geq2+\frac{\sqrt2}{2} $



Io sono arrivato fino a qui...

Purtroppo le varie disuguaglianze hanno soluzione anche se prendiamo questi segmenti:

Tipo (a) lunghezza: $ \displaystyle\frac{1}{2} $
Tipo (b) lunghezza: $ \displaystyle\frac{1}{2} $
Tipo (c) lunghezza: $ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $
Tipo (d) lunghezza: $ \displaystyle\frac{\sqrt2}{2} $

Per un totale di solo $ \displaystyle1+\sqrt2 $
ma sono convinto si possa dimostrare che questa soluzione non riesce a difendere adeguatamente il quadrato!

So fare $ \frac{ 2+ \sqrt{3} } 2 $ mettendo al posto dei lati consecutivi il tragitto minore per unire i tre punti consecutivi (unendoli al loro punto di Steiner)

Figo! Date un'occhiata qui per info!
Ed io che avrei giurato che facendo rientrare un punto non potevo che perderci...
E' proprio vero che la parola più pericolosa in matematica è "ovvio"!
A questo punto, le cose cambiano
Bravo Simo

Simo_the_wolf ha scritto:So fare $ \frac{ 2+ \sqrt{3} } 2 $ mettendo al posto dei lati consecutivi il tragitto minore per unire i tre punti consecutivi (unendoli al loro punto di Steiner)

Volevi forse dire $ \displaystyle \frac{ 2+ \sqrt{3} } {\sqrt {2}} $ ?

Sinceramente non so quale dei due risultati numerici sia corretto e non ho voglia di fare i conti (anche se visto il nostro opterei per quello di Freddy). Quello che arrovella al momento è: come si trova un lower bound non banale per un problema del genere?
Perchè che bisogna "difendere" l'angolo mi pare "ovvio" (si ok... non facciamo commenti...) e quindi sarei indotto a pensare che la configurazione sia effettivamente minimale... almeno con un numero finito di componenti connesse...
Ideas?