Provo una soluzione che non mi convince:
Suppongo che A1+...+An>0
1) la th vale per h=1 poichè esiste almeno un numero maggiore di zero;
la th vale per h=2 perchè esiste almeno una coppia A1,A2:la loro somma
è >0;
2) suppongo che la th valga per h-1, ovvero:
A1+...+A(h-1)>0
In questa somma non sono inclusi n-h+1 termini, per cui, poichè la th è vera per h=n dall'Hp, considero h<n, ci saranno almeno 2 termini esclusi dalla somma
3) Considero A1+...+A(h-1)+Ah.
Sostituisco ad Ah uno degli almeno 2 termini esclusi dalla somma 2):
Poichè la somma degli n termini è>0, posso individuare uno tra gli almeno 2 termini esclusi, ad esempio Ak, tale che:
A1+...A(h-1)+Ak>0
Infatti, la somma dei termini "esclusi", gli n-h+1, sommata alla somma 2) restituisce la somma degli n termini, per Hp >0.
è dunque provato per per ogni h, posso sceglieri h numeri tra gli n, tali che la loro somma sia maggiore di 0.
Si procede analogamente per il caso A1+...An<0
dite la vostra e controllate la mia.
mi scuso per il non latex
posto che A1+...A(h-1) è positivo, allora tra gli n-h+1 numeri che nn compaiono nella somma ce n'è sicuramente 1 tale che nn cambia la positività della somma. Cmq la tua mi sembra immediata, ma nn dovrebbe essere (h su n) semplicemente? 
