IMO2007/4

[Simo_the_wolf]

In un triangolo $ ABC $ la bisettrice di $ \widehat{BCA} $ interseca la circonferenza circoscritta in $ R $ ($ R\neq C $), l'asse di $ BC $ in $ P $, e l'asse di $ AC $ in $ Q $. Il punto medio di $ BC $ è $ K $ e il punto medio di $ AC $ è $ L $. Dimostrare che i triangoli $ RPK $ e $ RQL $ hanno la stessa area.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

$ \frac{h_1}{h_2}= \frac{KP}{QL}= \frac{a}{b} $

chiamiamo O il circocentro, abbiamo

$ \angle COQ = \beta $ e $ \angle POR = 180 - \angle PRO - \angle OPR = 180 - (\frac{\gamma}{2} + \alpha - 90) - (\frac{\gamma}{2} + 90) = $$ 180 - \alpha - \gamma = \beta $ quindi $ \angle COQ = \angle POR $

ma allora $ \triangle CQO \cong \triangle POR $ (II criterio) e quindi

$ CQ = PR \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \frac{PR}{QR} = \frac{b}{a} $

[salva90]

Premesso che della dimostrazione di gabriel ci ho capito veramente pen poco, provo a postare la mia... anche se è praticamente identica mi sembra quantomeno più chiara.

per calcolare l'area di $ ~PRK $ consideriamo $ ~PR $ come base e la perpendicolare da $ ~K $ come altezza; per calcolare quella di $ ~RQL $ usiamo come base $ ~RQ $ e $ ~L $ come vertice da cui condurre l'altezza.
Notiamo subito che queste due altezze sono rispettivamente le altezze relative all'ipotenusa dei triangoli rettangoli $ ~CKP $ e $ ~CLQ $, simili per angoli.
Di conseguenza il rapporto tra queste due altezze è uguale al rapporto tra i due cateti, che guarda caso sono rispettivamente metà di due dei lati di ABC.
Quindi si ha $ \frac{h_K}{h_L}=\frac{a}{b} $.

A questo punto, detto O il circocentro, notiamo che il triangolino $ ~POQ $ è isoscele sulla base $ ~PQ $ (sempre gli angoli di prima), quindi per differenza si ha $ \angle CPO=\angle RQO $; inoltre da $ ~OC=OR $ (raggi) segue $ \angle QCO=\angle PRO $, da cui la congruenza dei triangoli $ ~CQO $ e $ ~RPO $ e dei triangoli $ ~CPO $ e $ ~RQO $. Pertanto $ \frac{PR}{QR}=\frac{CQ}{PC}=\frac{b}{a} $ sempre per i triangoli simili inizialmente considerati.

Per concludere abbiamo $ \displaystyle\frac{A_{PRK}}{A_{RQL}}=\frac{PR\cdot h_k}{QR\cdot h_L}=\frac{b\cdot a}{a\cdot b}=1 $, quindi questi due triangoli hanno la stessa area.

Spero di essere stato chiaro