Sia V uno spazio vettoriale, X un omomorfismo da V in V tale che $ ~ X^3 = X $. Definiti i sottospazi:
- $ ~ X_0 = \{v \in V : vX = 0\} $, ovvero il nucleo
- $ ~ X_1 = \{v \in V : vX = v\} $
- $ ~ X_{-1} = \{v \in V : vX = -v\} $
Dimostrare che V è la somma diretta di $ ~ X_0,X_1,X_{-1} $.
se X^3 = X allora X = 0,1 o -1
$ v=[v-X^2(v)]+[X^2(v/2)-X(v/2)]+[X^2(v/2)+X(v/2)] $
Quindi il loro span contiene V ed è facile vedere che si intersecano solo nell'origine.
Più raffinatamente, $ X^3-X=X(X-1)(X+1) $. Quindi nella decomposizione di Jordan vi saranno blocchi di autovalori 0,1,-1, al più. Se vi è anche un solo 1 non sulla diagonale, facendo le potenze successive questo non scomparirà mai e dunque non è possibile che X^3=X. Dunque la somma diretta degli autospazi dà tutto lo spazio.
Quindi il loro span contiene V ed è facile vedere che si intersecano solo nell'origine.
Più raffinatamente, $ X^3-X=X(X-1)(X+1) $. Quindi nella decomposizione di Jordan vi saranno blocchi di autovalori 0,1,-1, al più. Se vi è anche un solo 1 non sulla diagonale, facendo le potenze successive questo non scomparirà mai e dunque non è possibile che X^3=X. Dunque la somma diretta degli autospazi dà tutto lo spazio.
Sì, oppure anche senza considerare gli 1 e vedere che non spariscono: $ x^3-x $ è nel'ideale, allora se esistesse un blocco di dimensione maggiore o uguale a 2 il polinomio minimo avrebbe grado, per quell'autovalore, incompatibile col fatto che divide ogni polinomio nell'ideale, quindi anche $ x(x-1)(x+1) $.
Ciao
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All of physics is either impossible or trivial.
It is impossible until you understand it, and then it becomes trivial.
Live as if you were to die tomorrow.
Learn as if you were to live forever.
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