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Sia V uno spazio vettoriale, X un omomorfismo da V in V tale che $ ~ X^3 = X $. Definiti i sottospazi:
- $ ~ X_0 = \{v \in V : vX = 0\} $, ovvero il nucleo
- $ ~ X_1 = \{v \in V : vX = v\} $
- $ ~ X_{-1} = \{v \in V : vX = -v\} $

Dimostrare che V è la somma diretta di $ ~ X_0,X_1,X_{-1} $.

$ v=[v-X^2(v)]+[X^2(v/2)-X(v/2)]+[X^2(v/2)+X(v/2)] $
Quindi il loro span contiene V ed è facile vedere che si intersecano solo nell'origine.
Più raffinatamente, $ X^3-X=X(X-1)(X+1) $. Quindi nella decomposizione di Jordan vi saranno blocchi di autovalori 0,1,-1, al più. Se vi è anche un solo 1 non sulla diagonale, facendo le potenze successive questo non scomparirà mai e dunque non è possibile che X^3=X. Dunque la somma diretta degli autospazi dà tutto lo spazio.

Sì, oppure anche senza considerare gli 1 e vedere che non spariscono: $ x^3-x $ è nel'ideale, allora se esistesse un blocco di dimensione maggiore o uguale a 2 il polinomio minimo avrebbe grado, per quell'autovalore, incompatibile col fatto che divide ogni polinomio nell'ideale, quindi anche $ x(x-1)(x+1) $.

Ciao

La mia soluzione era suppergiù quello che EvaristeG ha scritto nella prima riga, solo in molte più righe

Beh, sì, Bacco ha ragione. Volendo, si può anche far prima dicendo che se il polinomio minimo ha tutte radici distinte l'endomorfismo è diagonalizzabile e il nostro polinomio minimo è tale in quanto divide x(x+1)(x-1). (E' la stessa cosa, ma detta ancora più oscuramente )