Sia $ \displaystyle f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} $ una funzione e $ \displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n $ degli interi (n è almeno 2) tale che, per ogni $ \displaystyle k,l \in \mathbb{Z} $, con l diverso da 0, si abbia:
$ \displaystyle f(k+la_1) + f(k + la_2) + \ldots + f(k + la_n) = 0 $.
Dimostrare che per ogni intero k, f(k) = 0.
Funzione che dovrebbe essere 0
Vabeh, a questo punto metto la mia soluzione.
Senza perdita di generalità assumiamo $ ~ a_1 \le \ldots \le a_n $. Se per ogni l facciamo la sostituzione $ ~ k \rightarrow k-la_1 $, vediamo che la tesi non cambia se sostituiamo $ ~ (a_1,a_2,\ldots,a_n) $ con $ ~ (0,a_2-a_1,\ldots,a_n-a_1) $. Allora, senza perdita di generalità, possiamo assumere $ ~ a_1 = 0 $ e gli altri a non negativi.
Consideriamo il polinomio a coefficienti interi $ ~ p(x) = x^{a_n} + x^{a_{n-1}} + \ldots + x^{a_2} + x^{a_1} $. Per le ipotesi fatte, $ ~ p(0) \neq 0 $, i coefficienti sono interi positivi, e il grado è almeno 1. (per dimostrare questo è sufficiente sapere che due $ ~ a_i $ sono distinti, e altrimenti il problema è banale). Inoltre, 1 non è una radice.
Usiamo il teorema fondamentale dell'algebra. (il punto bello è proprio questo... usarlo per questo problema).
Nessuna radice complessa di p è nulla. Sia $ ~ A $ l'insieme delle sue radici complesse con modulo 1, $ ~ B $ l'insieme delle sue radici complesse con modulo minore di 1, $ ~ C $ l'insieme delle sue radici complesse con modulo maggiore di 1.
Associamo ad ogni elemento $ ~ a \in A $ un intero positivo g(a) in questo modo:
- se per qualche intero positivo k so ha $ ~ a^k = 1 $, g(a) è il minimo k possibile.
- altrimenti, $ ~ a^k $ è una funzione iniettiva (k varia in N), e siccome le radici son finite, esiste un intero g(a) tale che, per $ ~ k \ge g(a) $, si abbia $ ~ a^{g(a)} \not \in A $.
Definiamo $ ~ m_a $ come il prodotto di tutti i $ ~ g(a) $ con a che varia in A.
Sia $ ~ 0 < s < 1 $ il minimo modulo tra gli elementi di B. Per ogni elemento di b, esiste un minimo intero positivo g(b) tale che $ ~ |b^{g(b)}| = |b|^{g(b)} <s> r $. Otteniamo così $ ~ m_c $ come il massimo dei $ ~ g(c) $.
Definiamo finalmente $ ~ m = m_am_bm_c $ e consideriamo il polinomio a coefficienti interi $ ~ q(x) = p(x^m) $. La tesi è: q e p sono coprimi. Se non lo fossero avrebbero una radice $ ~ \alpha $ in comune, ovvero $ ~ p(\alpha) = q(\alpha) = p(\alpha^m) = 0 $, cioè sia $ ~ \alpha $ sia $ ~ \alpha^m $ sarebbe una radice di p. Ma questo è impossibile. Se $ ~ \alpha \in A $ ha ordine finito, $ ~ \alpha^{q(\alpha)} = 1 $, ma m è un multiplo di $ ~ q(\alpha) $, quindi $ ~ \alpha^m = 1 $, e 1 sarebbe una radice di p, assurdo. Se $ ~ \alpha \in A $ non è una radice dell'unità, allora essendo $ ~ m \ge q(\alpha) $ otteniamo che $ ~ a^m $ non è una radice, assurdo. Se $ ~ \alpha \in B $ allora $ ~ |\alpha^m| \le |\alpha^{g(\alpha)}| <s> r $ in entrambi i casi assurdo.
Ora, sia L l'insieme dei polinomi a coefficienti interi $ ~ c_nx^n + \ldots + c_1x + c_0 $ tali che $ ~ c_n f(k+n) + \ldots + c_1f(k+1) + c_0f(k+0) = 0 $ èer ogni intero k. È di immediata verifica che:
1) $ ~ d(x) \in L, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow kd(x) \in L $
2) $ ~ d(x) \in L, e(x) \in L \Rightarrow (d+e)(x) \in L $
3) $ ~ d(x) \in L, a \in \mathbb{Z}^+ \Rightarrow x^ad(x) \in L $
4) $ ~ p(x) \in L $
5) $ ~ q(x) = p(x^m) \in L $ (basta mettere k=l nelle ipotesi)
da 1),2),3) segue che il massimo comun divisore di due polinomi di L appartiene ancora ad L. Quindi, sapendo che q,p sono coprimi, concludiamo che il loro massimo comun divisore, che è un polinomio di grado 0, appartiene ad L. Riguardando la definizione di L, questo implica che $ ~ f(k) = 0 $ per ogni intero k.
Senza perdita di generalità assumiamo $ ~ a_1 \le \ldots \le a_n $. Se per ogni l facciamo la sostituzione $ ~ k \rightarrow k-la_1 $, vediamo che la tesi non cambia se sostituiamo $ ~ (a_1,a_2,\ldots,a_n) $ con $ ~ (0,a_2-a_1,\ldots,a_n-a_1) $. Allora, senza perdita di generalità, possiamo assumere $ ~ a_1 = 0 $ e gli altri a non negativi.
Consideriamo il polinomio a coefficienti interi $ ~ p(x) = x^{a_n} + x^{a_{n-1}} + \ldots + x^{a_2} + x^{a_1} $. Per le ipotesi fatte, $ ~ p(0) \neq 0 $, i coefficienti sono interi positivi, e il grado è almeno 1. (per dimostrare questo è sufficiente sapere che due $ ~ a_i $ sono distinti, e altrimenti il problema è banale). Inoltre, 1 non è una radice.
Usiamo il teorema fondamentale dell'algebra. (il punto bello è proprio questo... usarlo per questo problema).
Nessuna radice complessa di p è nulla. Sia $ ~ A $ l'insieme delle sue radici complesse con modulo 1, $ ~ B $ l'insieme delle sue radici complesse con modulo minore di 1, $ ~ C $ l'insieme delle sue radici complesse con modulo maggiore di 1.
Associamo ad ogni elemento $ ~ a \in A $ un intero positivo g(a) in questo modo:
- se per qualche intero positivo k so ha $ ~ a^k = 1 $, g(a) è il minimo k possibile.
- altrimenti, $ ~ a^k $ è una funzione iniettiva (k varia in N), e siccome le radici son finite, esiste un intero g(a) tale che, per $ ~ k \ge g(a) $, si abbia $ ~ a^{g(a)} \not \in A $.
Definiamo $ ~ m_a $ come il prodotto di tutti i $ ~ g(a) $ con a che varia in A.
Sia $ ~ 0 < s < 1 $ il minimo modulo tra gli elementi di B. Per ogni elemento di b, esiste un minimo intero positivo g(b) tale che $ ~ |b^{g(b)}| = |b|^{g(b)} <s> r $. Otteniamo così $ ~ m_c $ come il massimo dei $ ~ g(c) $.
Definiamo finalmente $ ~ m = m_am_bm_c $ e consideriamo il polinomio a coefficienti interi $ ~ q(x) = p(x^m) $. La tesi è: q e p sono coprimi. Se non lo fossero avrebbero una radice $ ~ \alpha $ in comune, ovvero $ ~ p(\alpha) = q(\alpha) = p(\alpha^m) = 0 $, cioè sia $ ~ \alpha $ sia $ ~ \alpha^m $ sarebbe una radice di p. Ma questo è impossibile. Se $ ~ \alpha \in A $ ha ordine finito, $ ~ \alpha^{q(\alpha)} = 1 $, ma m è un multiplo di $ ~ q(\alpha) $, quindi $ ~ \alpha^m = 1 $, e 1 sarebbe una radice di p, assurdo. Se $ ~ \alpha \in A $ non è una radice dell'unità, allora essendo $ ~ m \ge q(\alpha) $ otteniamo che $ ~ a^m $ non è una radice, assurdo. Se $ ~ \alpha \in B $ allora $ ~ |\alpha^m| \le |\alpha^{g(\alpha)}| <s> r $ in entrambi i casi assurdo.
Ora, sia L l'insieme dei polinomi a coefficienti interi $ ~ c_nx^n + \ldots + c_1x + c_0 $ tali che $ ~ c_n f(k+n) + \ldots + c_1f(k+1) + c_0f(k+0) = 0 $ èer ogni intero k. È di immediata verifica che:
1) $ ~ d(x) \in L, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow kd(x) \in L $
2) $ ~ d(x) \in L, e(x) \in L \Rightarrow (d+e)(x) \in L $
3) $ ~ d(x) \in L, a \in \mathbb{Z}^+ \Rightarrow x^ad(x) \in L $
4) $ ~ p(x) \in L $
5) $ ~ q(x) = p(x^m) \in L $ (basta mettere k=l nelle ipotesi)
da 1),2),3) segue che il massimo comun divisore di due polinomi di L appartiene ancora ad L. Quindi, sapendo che q,p sono coprimi, concludiamo che il loro massimo comun divisore, che è un polinomio di grado 0, appartiene ad L. Riguardando la definizione di L, questo implica che $ ~ f(k) = 0 $ per ogni intero k.