Minimax di Pólya (disuguaglianze e medie)

[TADW_Elessar]

Nello studio delle disuguaglianze ho trovato questo problema che è abbastanza carino, ma di cui non capisco la soluzione. (Ve l'ho detto che in matematica sono un disastro ). Comunque ve lo propongo:

Caratterizzazione del Minimax di Pólya
Supponi di dover indovinare il valore di un numero sconosciuto $ ~x $ nell'intervallo $ [a,b] \subset (0,\+\infty) $ e supponi di essere costretto a pagare una multa in base all'errore relativo della tua ipotesi. Come devi giocare se vuoi minimizzare la peggiore multa che dovrai pagare?
Se la tua ipotesi è $ ~p $, allora la massima multa che dovrai pagare è:

$ \displaystyle F(p) = \max_{x \in [a,b]} \left\{ \frac{|p-x|}{x}\right\} $

quindi la tua sfida analitica è trovare il valore $ ~p^* $ tale che:

$ \displaystyle F(p^*) = \min_p \max_{x \in [a,b]} \left\{ \frac{|p-x|}{x}\right\} $

Ci si aspetta che $ ~p^* $ sia una qualche media, ma quale?

[salva90]

EDIT: devo imparare a leggere meglio i testi. o forse dovrei imparare la differenza tra errore assoluto e errore relativo.

[TADW_Elessar]

No, non è la media aritmetica a quanto pare.

Del resto si vede subito che $ \displaystyle \frac{b-a}{2a} > \frac{b-a}{a+b} $ per $ a<b $

[salva90]

Un certo enomis è alto 1.63 e pure ubriacone, e non si ricorda la password. pertanto devo postare io la sua soluzione

$ g(p)=\frac{|x-p|}{x} $ è un'iperbole traslata a cui è stato simmetrizzato un pezzo ri ramo. Disegnando il grafico si vede che assume massimo negli estremi di [a,b].



Mi interessano solo i due valori $ \frac{p-a}{a},\frac{b-p}{b} $

voglio minimizzare il massimo tra questi due.



Considero $ y=\frac{p-a}{a} $

e $ y=\frac{b-p}{b} $

Sono due rette con coefficenti angolari opposti.

Disegnandone il grafico si vede che si minimizza la massima tra le due quando sono uguali.

Ovvero:

$ \frac{p}{a}-1=\frac{-p}{b}+1 $

Da cui p risulta essere la media armonica tra a e b.



Spero sia tutto chiaro!

[TADW_Elessar]

E pensare che gli ho pure mandato un PM...

Sì, è tutto chiaro ed è (ovviamente) giusto

[enomis_costa88]

Okay ora mi ha preso la password..è che dopo 5 tentativi sbagliati ti rompe le scatole..

Un certo enomis è alto 1.63 e pure ubriacone, e non si ricorda la password. pertanto devo postare io la sua soluzione

Hei quello è ciò che c'è scritto sulla carta d'identità (in realtà è molto meno ).

Per il resto..devo ricordarti io chi si è scolato mille bottiglie di vodka limoncello crema al whisky birra ecc tra cesenatico e mirabilandia?

[Sherlock]

Okay ora mi ha preso la password..è che dopo 5 tentativi sbagliati ti rompe le scatole..

In questi gg è successo anche a me, se sbaglio la password la prima volta (perchè tra l'altro non ho la + pallida di quale sia... ) e poi riapro la pagina sono loggato...certo non ho idea del perchè possa succedere una cosa del genere, ma chissenefrega!