Somma di interi consecutivi

[TADW_Elessar]

Si è già accennato l'argomento qui. Facciamo un piccolo rilancio.

Dimostrare che il numero di modi di scrivere $ ~n $ come somma di interi (ovviamente positivi) è uguale a $ ~d(m) $ dove $ ~m $ è il più grande numero dispari che divide $ ~n $ e $ ~d(m) $ è il numero dei suoi divisori. Per esempio, per $ ~n = 15 $, allora $ ~15 $, $ ~7+8 $, $ ~4+5+6 $ e $ ~1+2+3+4+5 $ sono i modi di scrivere $ ~15 $ come somma di interi consecutivi, e infatti $ ~d(15) = 4 $.

[Jacobi]

dove $ ~m $ è il più grande numero dispari che divide $ ~n $

conta anche n ( nel senso che se n e' dispari allora m = n)?

[pic88]

dall'esempio che ha fatto direi di sì, visto che pone n=15 e calcola d(15)..

[TADW_Elessar]

dove $ ~m $ è il più grande numero dispari che divide $ ~n $

conta anche n ( nel senso che se n e' dispari allora m = n)?

Certo, certo.

[salva90]

Allora...
Lo risolvo nello stesso modo in cui ho risolto alle provinciali il caso particolare.

Se è somma di numeri consecutivi allora è differenza di due triangolari.

$ \displaystyle\frac{a(a+1)}2-\frac{(a-k)(a-k+1)}2=n $ con $ a,~ k\in \mathbb{N} $

$ k^2+(2a-1)k-2n=0 $

Considerando questa come un'equazione di 2° grado in k, le cui soluzioni sono (chiamiamole cosi per comodità) $ ~x $ e $ ~y $.

Allora abbiamo:

$ x+y=-2a+1 $

$ xy=-2n $

Che significa che esattamente una delle due è dispari, e che quella maggiore in valore assoluto è negativa, mentre l'altra positiva.

Pertanto (usando le notazioni del testo) possiamo scegliere quella dispari in $ d(m) $ modi. Poichè è chiaro che abbiamo sempre una soluzione accettabile, segue la tesi.

Per la cronaca, questo dimostra anche il problema linkato, in quanto si vede che se n ha un divisore dispari è possibile, mentre altrimenti l'unico k positivo è 1, pertanto n viene scritto come somma di se stesso (che come dice edriv è consecutivo)