Successione di coprimi

[Russell]

Sia $ x_1,x_2,x_3,... $ la successione di interi definita da:

$ x_1=3 $
$ x_{n+1}=x_n^2-2 $ per $ n\geq 1 $

Dimostrare che due elementi distinti della successione sono sempre primi tra loro.

[pic88]

LOL, ma allora si poteva cambiare nome ?!?!

EDIT: No, ora vedo che hai un solo messaggio..


Allora...

Da $ {x_2} $ in poi nessuno è divisibile per 3 poiché $ {x^2-2 \equiv 1,2 \bmod 3} $. Ora, supponiamo che l'i-esimo teermine sia divisibile per p, in formule:
$ {x_i \equiv 0 \bmod p} $. La successione dei resti modulo p è dunque 0 -2, 2, 2, 2... Diventa cioè periodica modulo p, e dunque nessun termine successivo a $ {x_j} $ è divisibile per p.

[Noemi91x]

allora i numeri della successione x_1,x_2.... sono tutti dispari e questo lo si può dimostrare usando l'induzione;prendendo i due elemente x_n+1 e x_n entrambi devono dividere x_n^2-2 e x_n+1 quindi devono essere divisori anche di due ,ma l'unico divisore in comune è 1 perchè sono dispari....

per ora ho fatto questo dopo la continuo

[Russell]

dunque nessun termine successivo a $ {x_j} $ è divisibile per p.

Hai sistemato i successivi di $ x_j $. Per mostrare che $ x_j $ è coprimo anche con i precedenti termini della successione basta evidenziare che la relazione "$ a $ ha divisori in comune con $ b $" gode della proprietà riflessiva.
Dunque se $ x_j $ non è coprimo con un precedente allora tale precedente non è coprimo con $ x_j $, assurdo.
Era solo per concludere..

[pic88]

... basta evidenziare che la relazione "$ {a} $ ha divisori in comune con $ {b} $" gode della proprietà riflessiva.

Casomai volevi dire simmetrica.

[Russell]

Che idiota che sono!! Comunque certo...simmetrica!!!