Esercizio Livello Archimede
Esercizio Livello Archimede
Lavorando in $ N^+ $, trovare la formula che esprima la somma di $ n $ numeri consecutivi dato il primo numero della successione.
[url]http://www.aif.it/[/url]
umm...
allora definiamo $ \displaystyle n $ il numero di partenza, e $ k +1 $ il numero di numeri consecutivi che vogliamo sommare, la formula è la seguente:
$ n + (n+1)+...+(n+k) $
usciamo dalle parentesi e raggruppiamo:
$ n(k+1) + 1+2+...+k $
come sappiamo: $ 1+2+... +k = \displaystyle \frac{k(k+1)}{2} $
quindi sostituendo:
$ \displaystyle n(k+1) + \frac{k(k+1)}{2} $
o se preferite:
$ \displaystyle \frac{1}{2} (k+1) (k+2n) $
allora definiamo $ \displaystyle n $ il numero di partenza, e $ k +1 $ il numero di numeri consecutivi che vogliamo sommare, la formula è la seguente:
$ n + (n+1)+...+(n+k) $
usciamo dalle parentesi e raggruppiamo:
$ n(k+1) + 1+2+...+k $
come sappiamo: $ 1+2+... +k = \displaystyle \frac{k(k+1)}{2} $
quindi sostituendo:
$ \displaystyle n(k+1) + \frac{k(k+1)}{2} $
o se preferite:
$ \displaystyle \frac{1}{2} (k+1) (k+2n) $
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Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
Può esserti utile ricordare in generale che....
Una successione $ \left\{a_n\right\} $ di numeri è detta progressione aritmetica di ragione $ d $ se è tale che $ a_{n+1}-a_n=\ d \ \ \forall n $.
Indichiamo con $ a_1 $ il primo termine di una progressione aritmetica.
L'$ n $-esimo termine, noto il primo, è dato da $ a_n=a_1+(n-1)\cdot d $
Si dimostra inoltre che la somma di tutti i termini di una successione largamente compresi tra due termini scelti $ a_p $ e $ a_h $ (con $ h>p $) è data da $ S=a_p+a_{p+1}+a_{p+2}+...+a_h=\displaystyle (h-p+1)\frac{a_p+a_h}{2}\ \ (*) $.
Notiamo che $ h-p+1 $ è semplicemente la quantità di numeri che sommiamo.
Nell'esercizio da te chiesto abbiamo $ d=1 $. Prendiamo $ a_1=k $ come numero di partenza (visto che $ n $ dobbiamo usarlo, nel rispetto della consegna, per il numero di consecutivi da sommare). Possiamo scrivere ora $ S=\displaystyle n\frac{k+[k+(n-1)\cdot 1]}{2}=\frac{1}{2}n(2k+n-1) $.
Dunque la somma di $ n $ numeri consecutivi, detto $ k $ il primo di essi, è $ \ \displaystyle S=\frac{1}{2}n(2k+n-1) $
Nota bene che questa relazione è esattamente la stessa che ti ha dato Agi_90, se mettiamo $ k+1 $ al posto di $ n $ e $ n $ al posto di $ k $. Ci tenevo più che altro che tu conoscessi la formula generale valida per tutte le progressioni aritmetiche, cioè la $ (*) $, che torna spesso utile!!
Chiedo scusa a mod_2 e Agi_90 per l'intromissione..
Una successione $ \left\{a_n\right\} $ di numeri è detta progressione aritmetica di ragione $ d $ se è tale che $ a_{n+1}-a_n=\ d \ \ \forall n $.
Indichiamo con $ a_1 $ il primo termine di una progressione aritmetica.
L'$ n $-esimo termine, noto il primo, è dato da $ a_n=a_1+(n-1)\cdot d $
Si dimostra inoltre che la somma di tutti i termini di una successione largamente compresi tra due termini scelti $ a_p $ e $ a_h $ (con $ h>p $) è data da $ S=a_p+a_{p+1}+a_{p+2}+...+a_h=\displaystyle (h-p+1)\frac{a_p+a_h}{2}\ \ (*) $.
Notiamo che $ h-p+1 $ è semplicemente la quantità di numeri che sommiamo.
Nell'esercizio da te chiesto abbiamo $ d=1 $. Prendiamo $ a_1=k $ come numero di partenza (visto che $ n $ dobbiamo usarlo, nel rispetto della consegna, per il numero di consecutivi da sommare). Possiamo scrivere ora $ S=\displaystyle n\frac{k+[k+(n-1)\cdot 1]}{2}=\frac{1}{2}n(2k+n-1) $.
Dunque la somma di $ n $ numeri consecutivi, detto $ k $ il primo di essi, è $ \ \displaystyle S=\frac{1}{2}n(2k+n-1) $
Nota bene che questa relazione è esattamente la stessa che ti ha dato Agi_90, se mettiamo $ k+1 $ al posto di $ n $ e $ n $ al posto di $ k $. Ci tenevo più che altro che tu conoscessi la formula generale valida per tutte le progressioni aritmetiche, cioè la $ (*) $, che torna spesso utile!!
Chiedo scusa a mod_2 e Agi_90 per l'intromissione..
Quindi...Riassumendo... mi è utile conoscere la formula per la somma dei primi $ n $ numeri:
$ \frac{n(n+1)}2 $ che è un caso particolare della generalizzazione di quello che ha detto Russell, una progressione di numeri naturali positivi la cui somma dipende dal numero iniziale, dal numero di elementi e dalla ragione della progressione, che è la differenza tra un $ a_i $ qualsiasi e il suo precedente...
Grazie a tutti e 3 per le risposte!
$ \frac{n(n+1)}2 $ che è un caso particolare della generalizzazione di quello che ha detto Russell, una progressione di numeri naturali positivi la cui somma dipende dal numero iniziale, dal numero di elementi e dalla ragione della progressione, che è la differenza tra un $ a_i $ qualsiasi e il suo precedente...
Grazie a tutti e 3 per le risposte!
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che fa scherzi!Russell ha scritto:Chiedo scusa a mod_2 e Agi_90 per l'intromissione..
piccola cosa se aggiungi
Codice: Seleziona tutto
\displaystyle Codice: Seleziona tutto
$
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Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"