dragster

[jordan]

un dragster di massa M, partendo da fermo, percorre la distanza di gara D.
Ammettendo ke il motore fornisca una potenza istantanea P e assimilando il veicolo a una particella, trovate il tempo impiegato a coprire la distanza di gara.


good work

[pic88]

Immagino sia da fare senza usare le equazioni differenziali..

EDIT: lo faccio comunque..

Allora, $ \displaystyle {P= \frac{{\rm{d}}E}{{\rm{d}}t}=\frac{mv\rm{d}v}{\rm{d}t}} $
quindi detto x lo spazio avremmo
$ { mx'x''=P} $, da cui, integrando e imponendo che all'inizio sia x'=0, si ha:
$ \displaystyle (x')^2=\frac{2Px}{m} $, dunque prendendo la radice quadrata, dividendo e integrando

$ \displaystyle \int_0^D \frac{1}{\sqrt x}\rm{d}x=\int_0^T\sqrt\frac{2P}{m}{\rm{d}}T $ dove T è la nostra incognita.

[Startrek]

Purtroppo non sono riuscito a seguire il ragionamento di pic88 perché ancora non sono pratico di equaz. differenziali, comunque senza di loro mi riesce $ \displaystyle t = \sqrt [3] { \frac{2md^2}{P}} $
Vi sembra giusto??

[darkcrystal]

Scusa Pic ma ad un certo punto non quadra più nemmeno dimensionalmente... non ho controllato fino in fondo, ma a me risulta che sia $ (x')^2=\frac{2TP}{m} $ e non $ (x')^2=\frac{2xP}{m} $ (anche perchè è semplicemente $ t \cdot P = \frac12 m \Delta v^2 $)

Da lì poi segue $ \displaystyle \int dx = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac12} dt $ che porta ad un risultato simile a quello di startrek, a meno di un coefficiente che probabilmente ho sbagliato io a calcolare

[killing_buddha]

non capisco da dove venga x primo alla seconda..... ok ora l'ho capito
però diavolo a me viene


$ \displaystyle x' x'' = \frac{(x')^2}{2} = \frac{P}{m} $

e conseguentemente

$ \displaystyle x' = \sqrt{\frac{2P}{m}} $

$ ~dx = K dt $

com'è?

[darkcrystal]

Premessa la mia sempre più profonda ignoranza fisica, credo tu ti sia scordato che stai integrando! La prima cosa che hai scritto NON è un'uguaglianza... i miei passaggi sono questi, insomma...
$ \displaystyle x'x''=\frac {P}{m} \Rightarrow \int_0^t x'x'' = \int_0^t\frac{P}{m} \Rightarrow \frac{(x')^2}{2}=t \frac{P}{m} \Rightarrow dx= $$ \displaystyle \sqrt{2\frac {P}{m} t}dt \Rightarrow \int_0^D dx=\sqrt{2\frac {P}{m}} \int_0^T \sqrt{t} dt $ dove T è il tempo totale di gara

Spero che quello che ho scritto abbia un senso... se non è così perdonatemi!

Ciao a tutti!

[killing_buddha]

qui saltano fuori tutti gli abusi di notazione e di trattamento dei differenziali dannazione!!1!

allora, io non capisco uno dei primi passaggi

$ ~\int_0^t x'x'' = \int_0^t \frac{P}{m} = \frac{(x')^2}{2} $ ecc

perchè questo? se io ho una x(t), e derivo $ ~(derivata di x(t))^2 $ ottengo

$ 2 x' D(x') = 2x'x''~ $

dunque la mia uguaglianza è tale! (se non lo è, per un motivo sciocco, scusatemi e spiegatemi...)

tanto piu che
$ \int_0^t x'x''~ $ non ha dt!

[Startrek]

Da lì poi segue $ \displaystyle \int dx = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac12} dt $ che porta ad un risultato simile a quello di startrek, a meno di un coefficiente che probabilmente ho sbagliato io a calcolare

Scusa, potresti esporre il procedimento seguito ed il seguente risultato, per favore?

Non capisco inoltre, come si ottenga $ \displaystyle \int x'x''dt=\frac {(x')^2}{2} $. Me lo potreste spiegare per favore (anche se calcolando la derivata si riottiene, in effetti, x'x'', quindi è giusto) dato che non riesco a capirlo??

Premessa la mia sempre più profonda ignoranza fisica, credo tu ti sia scordato che stai integrando! La prima cosa che hai scritto NON è un'uguaglianza... i miei passaggi sono questi, insomma...
$ \displaystyle x'x''=\frac {P}{m} \Rightarrow \int_0^t x'x'' = \int_0^t\frac{P}{m} \Rightarrow \frac{(x')^2}{2}=t \frac{P}{m} \Rightarrow dx= $$ \displaystyle \sqrt{2\frac {P}{m} t}dt \Rightarrow \int_0^D dx=\sqrt{2\frac {P}{m}} \int_0^T \sqrt{t} dt $ dove T è il tempo totale di gara

Spero che quello che ho scritto abbia un senso... se non è così perdonatemi!

Prova ad ottenere il risultato finale, così potremmo ottenere una conferma al mio risultato tramite un procedimento diverso.

Piuttosto, da un risultato intermedio ottenuto dalle equazioni differenziali di cui sopra si ottiene
$ \displaystyle \frac{Pt}{m}=\frac {(x')^2}{2} \: ;\: t = \frac{mv^2}{2P} \:; \:t = \frac{m \frac{4x^2}{t^2}}{2P}= \frac{2mx^2}{Pt^2}\: ; \:t = \sqrt[3]{\frac{2mx^2}{P}} $
ossia il mio stesso risultato di prima.
Ciao,
Startrek

[jordan]

si è quello il risultato..

[Startrek]

Grazie jordan!
Era molto tempo che mi stavo scemendo su questo problema, anche perché sta sull'Halliday ed il libro (tanto per cambiare) dava un risultato sbagliato (9/8 al posto di 2). Ciao e grazie.

Startrek

P.S. Se qualcuno mi chiarisse quel dubbio sull'intergrale di x'x'' non mi dispiacerebbe, comunque.

[darkcrystal]

Sono a scuola quindi non ho tanto tempo... ma esce 9/8 anche a me...
Dal mio ultimo integrale hai $ D=\sqrt{2\frac{P}{m}}t^{3/2}\cdot \frac23 \Rightarrow t^3= $$ D^2 \frac{m}{2P} \cdot \frac{9}{4} \Rightarrow t=\sqrt[3]{D^2\frac{9m}{8P}} $

Poi metterò i passaggi per l'integrale, che comunque si fa per parti
Ciao!

[Startrek]

Ho un dubbio: è emerso che $ P=mx'x'' $. Dato che sull'Halliday dice che la P istantanea è costante deve essere che né la x' né la x'' siano variabili. Quindi, deve essere che la x' sia una costante diversa da zero e la x'' deve essere uguale a zero. Da ciò discende che la P sia uguale a zero.
Ho detto una scemenza o qualcosa di giusto?
Per favore chiaritemi un po' le idee...

[FeddyStra]

P.S. Se qualcuno mi chiarisse quel dubbio sull'intergrale di x'x'' non mi dispiacerebbe, comunque.

Il fatto che derivando si ottenga un'uguaglianza vera è più che sufficiente per giustificare l'identità di partenza.
Alternativamente, puoi calcolare l'integrale per sostituzione nel seguante modo:
$ \displaystyle \int {x'x''dt}= \int {\frac {dx}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}dt} $.
Poni $ \displaystyle y=\frac{dx}{dt} $ e l'integrale diventa $ \displaystyle \int {y \frac{dy}{dt}dt} =\int {y dy}=\frac {y^2}2 +C=\frac12 \left(\frac {dx}{dt}\right)^2+C=\frac12 (x')^2+C $.

[darkcrystal]

Ho un dubbio: è emerso che $ P=mx'x'' $. Dato che sull'Halliday dice che la P istantanea è costante deve essere che né la x' né la x'' siano variabili. [...]

Direi che questo sia falso... in effetti quello che è emerso è che $ x' =j t^{\frac12} $ e dunque $ x'' =k t^{-\frac12} $ (per un po' di costanti j e k.) Il prodotto è dunque $ jk $ che è costante nel tempo, nonostante non siano costanti nè la velocità nè l'accelerazione

(Detto tra parentesi credo che le funzioni del tipo $ f(x)=k \sqrt{ax+b} $ siano tutte e sole quelle tali che $ f(x)f'(x) = \mbox{cost} $)
Ciau

[Startrek]

Ringrazio tanto FeddyStra e darkcrystal che mi hanno permesso di capire fino in fondo il problema.
Proprio darkcrystal mi ha dato l'illuminazione facendomi capire che non stava scritto da nessuna parte che l'accelerazione è costante. Io, infatti, avevo basato la mia risoluzione senza integrali sul fatto che si trattasse di moto uniformemente accelerato, per questo mi veniva il risultato sbagliato $ \displaystyle t= \sqrt [3] {\frac{2mx^2}{P}} $ invece del risultato giusto che ora mi torna perfettamente, in accordo con il libro, $ \displaystyle t= \sqrt [3] {\frac{9mx^2}{8P}} $.
Ciao a tutti e grazie ancora dell'aiuto.
Ciao,

Startrek