Poligoni

[Mathema]

Sia P un poligono convesso di n lati. Sia ora P\' un altro poligono, ottenuto unendo i punti medi dei lati di P. Trovare, in funzione del numero di lati n il rapporto tra le aree di P e di P\'.
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<BR>Secondo voi è possibile?
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[edony]

ma il poligono è regolare??
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[XT]

Se non fosse regolare non sarebbe possibile generalizzare una regola, per cui penso...

[massiminozippy]

Se il poligono è un esagono regolare il rapporto dovrebbe essere 3/4, cioè se A=4, A\'=3.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: massiminozippy il 15-01-2003 19:53 ]

[alberto]

mi sembra che il problema sia stato male interpretato: io l\'ho capito così: trovare in funzione di n il rapporto tra le aree di un qualsiasi poligono convesso di n lati, P(n), e il poligono costruito unendo i punti medi dei lati consecutivi di P(n)
<BR>secondo me è possibile...direi probabile, ma non ci ho ancora pensato molto

[edony]

per trovare il lato del poligono inscritto si può applicare il teorema di carnot al triangolo isoscele formato da due latì metà e dal lato del poligono inscritto si trova sqrt(l^2/4+l^2/4-l^2/2*(n-2)180°/n), poi per le aree serve l\'apotema...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: edony il 15-01-2003 20:13 ]

[ma_go]

Se il poligono è regolare, consideriamo la circonferenza ad esso circoscritta, di raggio r, e quella inscritta, di raggio r\'. Quella inscritta passa per tutti i punti medi dei lati, per cui è la circonferenza circoscritta al poligono ottenuto unendo i punti medi dei lati consecutivi.
<BR>Ora, i due poligoni sono entrambi regolari e sono simili, quindi le loro aree stanno tra loro come il quadrato dei rapporti dei raggi. Ma r\' = r*cos(pi/n), per cui A\'/A = (r\'/r)^2 = [cos(pi/n)]^2
<BR>Se il poligono non è regolare... beh, ci devo pensare su un po\'...
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[sprmnt21]

Secondo me e\' possibile per n=3 ed n=4 e risulta P(3)/P\'(3)=4 e P(4)/P\'(4)=2, ma non mi sembra possibile per n>4 (il rapporto fra le superfici, dipende anche dalla \"forma\" del poligono).
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[XT]

Scusa sprmnt21 ma intendi dire anche per poligoni non regolari? Come fai ad affermarlo?
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[DD]

Concordo con sprmnt: per convincersene basta disegnare un rettangolo 2*4 e considerare uno dei due lati lunghi come se fossero due lati lunghi 2. Così abbiamo un pentagono degenere di area 5 e mi sembra improbabile che sia 5/8=cos^2(pi/5)

[DD]

Uhm... La \"prova del rettangolo\" dà 3/4 per n=6...

[Mathema]

Anch\'io ho utilizzato poligoni degeneri: ma non ci ho cavato nulla: come se la formula che è stata trovata per i poligoni regolari (e che effettivamente corrisponde a quella che avevo trovato io) valga anche per poligoni convessi qualunque

[alberto]

anche i miei dati sperimentali portavano alla stessa conclusione (cioè che il rapporto non dipende dalla forma)... ma i matematici mi hanno insegnato a non fidarmi dei metodi dei fisici...

[Mathema]

Teoricamente, e ripeto teoricamente , credo che il problema si potrebbe risolvere in questo modo: associamo ad ogni poligono convesso di n lati due vettori L e A,di n elementi ciascuno. Con l(i), l\'i-esimo elemento di L, indichiamo la lunghezza dell\'i-esimo lato a partire da uno prefissato; con a(i), l\'i-esimo elemento di A, indichiamo l\'ampiezza dell\'angolo compreso tra l\'i-esimo e l\'i+1-esimo lato. Certamente, conoscendo questi dati, si potrebbe risalire all\'area del poligono. Sempre a partire da questi dati, però, è anche possibile risalire agli elementi dei vettori L\' e A\' associati al poligono P\', in funzione degli l(i) e degli a(i).Se si riuscisse ad arrivare a tale punto, non sarebbe difficile trovare il rapporto tra i poligoni P e P\'. So che una cosa del genere si aggira intorno all\'impossibile, ma che ci volete fare, sto sparando le mie ultime cartucce.
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<BR>Vi auguro una migliore fortuna.
<BR>Ciao