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Sia P un poligono convesso di n lati. Sia ora P\' un altro poligono, ottenuto unendo i punti medi dei lati di P. Trovare, in funzione del numero di lati n il rapporto tra le aree di P e di P\'.
 
 Secondo voi è possibile?

ma il poligono è regolare??

Se non fosse regolare non sarebbe possibile generalizzare una regola, per cui penso...

Se il poligono è un esagono regolare il rapporto dovrebbe essere 3/4, cioè se A=4, A\'=3. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: massiminozippy il 15-01-2003 19:53 ]

mi sembra che il problema sia stato male interpretato: io l\'ho capito così: trovare in funzione di n il rapporto tra le aree di un qualsiasi poligono convesso di n lati, P(n), e il poligono costruito unendo i punti medi dei lati consecutivi di P(n)
 secondo me è possibile...direi probabile, ma non ci ho ancora pensato molto

per trovare il lato del poligono inscritto si può applicare il teorema di carnot al triangolo isoscele formato da due latì metà e dal lato del poligono inscritto si trova sqrt(l^2/4+l^2/4-l^2/2*(n-2)180°/n), poi per le aree serve l\'apotema... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: edony il 15-01-2003 20:13 ]

Se il poligono è regolare, consideriamo la circonferenza ad esso circoscritta, di raggio r, e quella inscritta, di raggio r\'. Quella inscritta passa per tutti i punti medi dei lati, per cui è la circonferenza circoscritta al poligono ottenuto unendo i punti medi dei lati consecutivi.
 Ora, i due poligoni sono entrambi regolari e sono simili, quindi le loro aree stanno tra loro come il quadrato dei rapporti dei raggi. Ma r\' = r*cos(pi/n), per cui A\'/A = (r\'/r)^2 = [cos(pi/n)]^2
 Se il poligono non è regolare... beh, ci devo pensare su un po\'...

Secondo me e\' possibile per n=3 ed n=4 e risulta P(3)/P\'(3)=4 e P(4)/P\'(4)=2, ma non mi sembra possibile per n>4 (il rapporto fra le superfici, dipende anche dalla \"forma\" del poligono).

Scusa sprmnt21 ma intendi dire anche per poligoni non regolari? Come fai ad affermarlo?

Concordo con sprmnt: per convincersene basta disegnare un rettangolo 2*4 e considerare uno dei due lati lunghi come se fossero due lati lunghi 2. Così abbiamo un pentagono degenere di area 5 e mi sembra improbabile che sia 5/8=cos^2(pi/5)

Uhm... La \"prova del rettangolo\" dà 3/4 per n=6...

Anch\'io ho utilizzato poligoni degeneri: ma non ci ho cavato nulla: come se la formula che è stata trovata per i poligoni regolari (e che effettivamente corrisponde a quella che avevo trovato io) valga anche per poligoni convessi qualunque

anche i miei dati sperimentali portavano alla stessa conclusione (cioè che il rapporto non dipende dalla forma)... ma i matematici mi hanno insegnato a non fidarmi dei metodi dei fisici...

Teoricamente, e ripeto teoricamente , credo che il problema si potrebbe risolvere in questo modo: associamo ad ogni poligono convesso di n lati due vettori L e A,di n elementi ciascuno. Con l(i), l\'i-esimo elemento di L, indichiamo la lunghezza dell\'i-esimo lato a partire da uno prefissato; con a(i), l\'i-esimo elemento di A, indichiamo l\'ampiezza dell\'angolo compreso tra l\'i-esimo e l\'i+1-esimo lato. Certamente, conoscendo questi dati, si potrebbe risalire all\'area del poligono. Sempre a partire da questi dati, però, è anche possibile risalire agli elementi dei vettori L\' e A\' associati al poligono P\', in funzione degli l(i) e degli a(i).Se si riuscisse ad arrivare a tale punto, non sarebbe difficile trovare il rapporto tra i poligoni P e P\'. So che una cosa del genere si aggira intorno all\'impossibile, ma che ci volete fare, sto sparando le mie ultime cartucce.
 
 Vi auguro una migliore fortuna.
 Ciao

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