Il problema impossibile

[moebius]

Metto qua questo problema di Gardner, perche' sinceramente non riesco a trovare una soluzione non "ricreativa"

Il professor Somma ed il professor Prodotto sono due logici perfetti, capaci di dedurre quasi istantaneamente tutte le verità da qualunque sistema di assiomi.
Un giorno uno studente incontra i due professori al bar dell'università e gli chiede: "Mi permettete una domanda?"
"Certo!"
"Ho scelto due numeri interi compresi tra 2 e 100 e questa è la loro somma."
Lo studente dà un foglio al prof. Somma. L'altro professore non vede cosa c'è scritto.
Lo studente aggiunge: "E questo è il loro prodotto."
Dà un altro foglio al professor Prodotto. Il prof. Somma, naturalmente, non vede cosa c'è scritto.
"Sapete dirmi quali numeri ho pensato?"
Prof. Prodotto: "Non sono in grado di determinarli."
Prof. Somma: "Io lo sapevo che tu non eri in grado di determinarli."
Prof. Prodotto: "Beh, se dici così allora io so che numeri sono!"
Prof. Somma: "Ora lo so anchio!"
E dicono in coro i due numeri che ha pensato lo studente.
Lo studente indietreggia con gli occhi spalancati e fugge dal bar.

Quali sono i due numeri?

[exodd]

se tramite il prodotto non si è in grado di determinare il numero, vuol dire che il prodotto non si può scrivere [tex]p*q[/tex] dove p e q sono numeri primi
se tramite la somma si può capire che tramite il prodotto non si può determinare il numero, allora la somma non potrà essere scritta in forma [tex]p+q[/tex], sempre con p e q primi... ma quali sono i numeri da 5 a 199 che non si possono scrivere come somma di numeri primi??????

[mod_2]

"Ho scelto due numeri interi compresi tra 2 e 100

sono due numeri distinti vero?

[julio14]

ma quali sono i numeri da 5 a 199 che non si possono scrivere come somma di numeri primi??????

Se la congettura di Goldbach avesse una confutazione tra i primi duecento numeri, l'avrebbero già trovata, quindi non i pari. I dispari si possono scrivere come somma di primi solo se uno dei due è 2, quindi tutti gli n (dispari) tali che n-2 non è primo, inoltre visto che la somma n è dispari il prodotto m è pari (d=d+p;dxp=p). Poniamo per esempio che i due numeri x;y fossero 2 e 9 (è il caso più semplice per cui m è pari e n-2 non è primo). Quindi Prodotto, che sa che m=18 e che quindi le possibilità sono 2;9 o 6;3, sapendo anche che $ x+y-2 \neq p $ deduce che la coppia giusta è la prima, perchè 6+3-2=7 è primo. Ora torniamo a Somma. Lui come coppie possibili aveva 2;9 3;8 4;7 5;6. Il problema qui è che 3 coppie andrebbero bene: se fosse stata una delle prime tre, Prodotto avrebbe potuto comunque trovare x;y. Mettiamoci in questi casi dalla parte di prodotto: $ 3\cdot 8=24 $ che si può scomporre come $ 3\cdot 8; 6\cdot 4; 12\cdot 2 $ solo che i secondi due avrebbero dato somma pari, impossibile, quindi prodotto avrebbe trovato 3;8. Lo stesso vale per $ 28=4\cdot 7=2\cdot 14 $ in cui il secondo caso avrebbe dato somma pari. Infine abbiamo $ 30=5\cdot 6=10\cdot 3=15\cdot 2 $: il secondo caso si esclude perchè 10+3-2 è primo, ma il terzo va bene. In ogni caso Somma ha eliminato solo una delle quattro possibilità. A questo punto, se non vi siete ancora persi in questo delirio, vi dico il motivo per cui la seconda e terza coppia non erano eliminabili ma la quarta si (e infatti è stata eliminata): era perchè nel prodotto xy c'era solo un primo diverso da 2. Infatti o x o y deve essere dispari per dare somma dispari quindi se c'è solo un primo diverso da 2 si può risalira alla coppia, che è quella dove il primo diverso da 2 sta da solo. Quindi dobbiamo trovare un caso in cui tutti o tutti meno uno i modi di scrivere n come somma di due numeri ci sia più di un fattore primo diverso da 2, e poi sperare che tutti meno uno siano eliminabili. A trovarlo ci penserò un'altra volta...

[exodd]

trovati!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
4 13
ovviamente la somma sarà 17 e il prodotto 52
provare per credere!

[julio14]

Giusto ho provato i vari x+y=17 e sono tutti impossibili tranne 4;13 ora mancherebbe da dimostrare che sono gli unici ma mi sa che su questa strada non si va da nessuna parte...

P.S. se hai usato la mia soluzione teorica per trovare il risultato, complimenti per la decifrazione. A rileggerla non la capivo più neanch'io!

[julio14]

Metto qua questo problema di Gardner, perche' sinceramente non riesco a trovare una soluzione non "ricreativa"

Decisamente la mia non lo è... verso la fine non capivo più di cosa stavo parlando, avevo fatto una confusione tremenda, probabilmente ne esiste un più semlpice che permette di dimostrare che sono 4;13 è l'unica soluzione.

[exodd]

alla fine mi veniva un albero...
sono partito da 17

2;15 3;14 4;13 5;12 6;11 7;10 8;9

moltiplicando

30 42 52 60 66 70 72

e quindi scompongo in fattori

2;15 2;21 2;26 2;30 2;33 2;35 2;36
3;10 3;14 4;13 3;20 3;22 5;14 3;24
5;6 6;7 4;15 6;11 7;10 4;18
5;12 6;12
6;10 8;9

di conseguenza addizionando

17 23 28 32 35 37 38
13 17 17 23 25 19 27
30 13 19 17 17 22
17 18
16 17

cancellando tutti quelli che si possono scrivere come somma di due numeri primi rimangono

17 23 17 23 35 37 27
11 17 17 17 17 17

di conseguenza l'unico numero che ha solo 17 come soluzione è 52

i numeri la cui somma è 17 e il cui prodotto è 52 sono 4 e 13

P.S. non chiedetemi nè come nè perchè l'ho fatto:ho ricopiato solo ciò che ho scritto

[Sherlock]

Questo problema l'ho fatto 3 anni fa...non mi ha fatto dormire 3 notti (vabbè che in quel periodo ero ricoverato in ospedale per una stupidaggine e non avevo niente da fare...) se mi ricordo come l'ho risolto alla fine ed è diversa dalla\e vostra\e (che non ho ancora letto perchè parecchio lunga\he ) la posto

[peppeporc]

Ho ripescato questo pdf che scaricai tempo fa in cui è spiegata la soluzione di questo vecchio quesito: http://www.cs.utexas.edu/users/misra/No ... wledge.pdf