Integrallonzo

[killing_buddha]

$ \displaystyle \int \frac{1}{x^4} + 1 dx $
Se è questo è troooooppo facile
facciamo che intendi

$ \displaystyle \int \frac{1}{x^4 + 1} dx $

[Jordano]

intanto

$ \displaystyle \int \frac{1}{x^4 + 1} dx $

$ x^4+1=(x^2-\sqrt 2 x +1)(x^2+\sqrt 2 x +1) $ per sophie germain

quindi

$ \displaystyle \int \frac{1}{(x^2-\sqrt 2 x +1)(x^2+\sqrt 2 x +1)} dx $

$ \frac{1}{(x^2-\sqrt 2 x +1)(x^2+\sqrt 2 x +1)} = \frac{Ax+B}{(x^2-\sqrt 2 x +1)}+ \frac{Cx+D}{(x^2+\sqrt 2 x +1)} $

facendo i conti troviamo A B C e D

a me vengono, ma non c'è molto da fidarsi:

$ A=- \frac {1}{2 \sqrt 2} $ $ B=1/2 $ $ C= \frac {1}{2 \sqrt 2} $ $ D=1/2 $

e siccome se il $ \Delta $ dell'equazione a denominatore è <0 e $ p +- iq $ sono le due radici vale:

$ \displaystyle \int \frac{1}{ax^2+bx+c} dx = \frac{1}{aq} arctan \frac {x-p}{q} +c $

facendo i conti mi viene

$ \frac {1}{4} (\frac{1}{\sqrt 2}( \frac {2x + \sqrt 2 }{x^2+ \sqrt 2 x +1} - \frac {2x - \sqrt 2 }{x^2- \sqrt 2 x +1})+ \frac {1}{x^2+ \sqrt 2 x +1} + \frac {1}{x^2- \sqrt 2 x +1} $

i primi 2 termini sono immediati da integrare gli ultimi 2 si fanno con la regola sopra, non ho la forza di scrivere il risultato

[luca88]

È una cosa molto molto lunga e laboriosa. Se ti interessa comunque parti così:

$ x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+ \sqrt{2}x +1)(x^2- \sqrt{2}x+1) $

(Identità di Sophie-Germain) dopodiché riscrivi la frazione come

$ \displaystyle\frac{1}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{x^2+ \sqrt{2}x +1}+\frac{Cx+d}{x^2- \sqrt{2}x +1} $

Una volta trovati i coefficienti $ A,B,C,D $ prosegui in modo abbastanza standard. Il risultato è una cosa assurda, ti consiglio di lasciar perdere

[luca88]

Ho visto adesso la risposta di Jordan chiedo scusa!!

[Jordano]

quoto il lasciar perdere... io non avevo nulla di meglio da fare

[Zoidberg]

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

[Jordano]

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

mi sembra venga