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$ \displaystyle \int \frac{1}{x^4} + 1 dx $
Se è questo è troooooppo facile
facciamo che intendi

$ \displaystyle \int \frac{1}{x^4 + 1} dx $

intanto

$ \displaystyle \int \frac{1}{x^4 + 1} dx $

$ x^4+1=(x^2-\sqrt 2 x +1)(x^2+\sqrt 2 x +1) $ per sophie germain

quindi

$ \displaystyle \int \frac{1}{(x^2-\sqrt 2 x +1)(x^2+\sqrt 2 x +1)} dx $

$ \frac{1}{(x^2-\sqrt 2 x +1)(x^2+\sqrt 2 x +1)} = \frac{Ax+B}{(x^2-\sqrt 2 x +1)}+ \frac{Cx+D}{(x^2+\sqrt 2 x +1)} $

facendo i conti troviamo A B C e D

a me vengono, ma non c'è molto da fidarsi:

$ A=- \frac {1}{2 \sqrt 2} $ $ B=1/2 $ $ C= \frac {1}{2 \sqrt 2} $ $ D=1/2 $

e siccome se il $ \Delta $ dell'equazione a denominatore è <0 e $ p +- iq $ sono le due radici vale:

$ \displaystyle \int \frac{1}{ax^2+bx+c} dx = \frac{1}{aq} arctan \frac {x-p}{q} +c $

facendo i conti mi viene

$ \frac {1}{4} (\frac{1}{\sqrt 2}( \frac {2x + \sqrt 2 }{x^2+ \sqrt 2 x +1} - \frac {2x - \sqrt 2 }{x^2- \sqrt 2 x +1})+ \frac {1}{x^2+ \sqrt 2 x +1} + \frac {1}{x^2- \sqrt 2 x +1} $

i primi 2 termini sono immediati da integrare gli ultimi 2 si fanno con la regola sopra, non ho la forza di scrivere il risultato

È una cosa molto molto lunga e laboriosa. Se ti interessa comunque parti così:

$ x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+ \sqrt{2}x +1)(x^2- \sqrt{2}x+1) $

(Identità di Sophie-Germain) dopodiché riscrivi la frazione come

$ \displaystyle\frac{1}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{x^2+ \sqrt{2}x +1}+\frac{Cx+d}{x^2- \sqrt{2}x +1} $

Una volta trovati i coefficienti $ A,B,C,D $ prosegui in modo abbastanza standard. Il risultato è una cosa assurda, ti consiglio di lasciar perdere

Ho visto adesso la risposta di Jordan chiedo scusa!!

quoto il lasciar perdere... io non avevo nulla di meglio da fare

Zoidberg ha scritto:http://integrals.wolfram.com/index.jsp

mi sembra venga