OliForum Matematico

"Descrivete" l'insieme di tutti i polinomi $ ~ f(x,y,z,w)\in \mathbb{C}[x,y,z,w] $ tali che
$ ~ f(n,2^n,3^n,6^n)=0 $ per ogni naturale n.

Sì, è vero, "descrivete" non è un problema ben posto, comunque c'è una caratterizzazione molto semplice.
La domanda precisa sarebbe:
esibite dei polinomi $ ~ g_1,\dotsc , g_m \in \mathbb{C}[x,y,z,w] $ tali che i polinomi con la proprietà richiesta siano tutti e soli quelli che si scrivono come combinazione lineare dei g_i a coefficienti altri polinomi.

Si vede che fai la tesi con Zannier

Era uno dei problemi per l'ammissione al perfezionamento di quest'anno.

$ f(x,y,z,w)=(w-yz)\, h(x,y,z,w) $, con $ h $ polinomio qualunque.

visto che wolverine ha dimostrato che tutti i polinomi multipli di w-yz vanno bene, supponiamo che P sia un polinomio che va bene (ma non di quel tipo), e scrivendo yz al posto di ogni sua w troviamo un polinomio non nullo Q(x,y,z) che si annulla per ogni $ ~ (n,2^n,3^n) $, e da qua vogliamo cercare un assurdo.

Q lo possiamo scrivere come somma di polinomi della forma:
$ ~ f(x)y^iz^j $ (con f polinomio)
sia $ ~ a_{i,j} = 2^i3^j $. Per la fattorizzazione unica degli interi, a coppie (i,j) distinte associamo $ ~ a_{i,j} $ distinti. Quindi, prendento il polinomio Q, troviamo degli interi positivi $ ~ a_{i,j} $ (tutti distinti) e dei polinomi $ ~ f_{i,j} \in \mathbb{C}[x] $ non nulli tali che, per ogni $ ~n \in \mathbb{N} $:

$ ~ \sum_{i,j} f(n)a_{i,j}^n = 0 $

Arrivati qui, potremmo prendere il $ ~ a_{i,j} $ più grande e attraverso delle disuguaglianze non troppo assurde capire che, per n grande, $ ~ f(n)a_{i,j}^n $ è più grande in modulo della somma dei moduli di tutti gli altri addendi. QED

$ f(x,y,z,w)=(x-log_2{y})(w-yz)h(x,y,z.w) $

Attento che quello non è un polinomio in x,y,z,w... infatti stai aggiungendo la variabile n. Non è neanche un polinomio in x,y,z,w,n, volendo, perchè c'è il $ ~ 2^n $... ma cos'è allora quella roba?