Frazioni

[FeddyStra]

Su una lavagna sono scritte le frazioni $ \displaystyle \frac11,\frac12,\frac13,...,\frac1n $.
Alberto cancella due frazioni, diciamo $ a $ e $ b $, e al loro posto scrive $ a+b+ab $. Egli ripete questa operazione fin tanto che sulla lavagna rimane solo più un numero.
Qual'è questo numero?

[Alex90]

$ n $

il perchè sarà un po' un problema però

[albert_K]

Sarò ripetitivo e inelegante, ma lo dimostro identicamente a questo.

cioè, presa una qualunque successione $ $ (a_n)$ $ e applicando quel procedimento, si arriva ad un termine $ $ (a_1 + 1)\cdots(a_n + 1) - 1 $ $
Sostituendo gli$ $ a_i $ $ con i reciproci dei naturali si ottiene facilmente la risposta

[Febo]

Uhm, forse potremmo definire sui reali a*b=a+b+ab. Ora basta verificare che e' associativa e commutativa, e operiamo per induzione, cioe':

1/1*1/2*...1/n*1/(n+1)=n*1/(n+1)=n+1/(n+1)+n/(n+1)=n+1

ciaociao

[Alex89]

Ed eccola qui la soluzione:Induzione e pigeonhole!(no aspetta il pigeonhole qui nn c'è...)

[Alex90]

Uhm, forse potremmo definire sui reali a*b=a+b+ab. Ora basta verificare che e' associativa e commutativa, e operiamo per induzione, cioe':

1/1*1/2*...1/n*1/(n+1)=n*1/(n+1)=n+1/(n+1)+n/(n+1)=n+1

ciaociao

non ho certamente una soluzione migliore ma con un paio di semplici prove ho visto che

$ n = 2 $
$ \frac{1}{1} $ e $ \frac{1}{2} $
$ a+b+ab=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}=2 $

lo stesso discorso vale per $ n=3 $ quindi...

[Alex90]

$ x + \frac {1}{x+1} + \frac {x}{x+1}=x+1 $
Quindi partendo dal caso in cui x=1 e prendendo ogni volta il numero più grande tra quelli rimasti arriviamo alla conclusione che sulla lavagna rimarrà il numero $ n $

ps scusate per la penosa dimostrazione ma di meglio non riesco a fare