Middle European MO 07

[Alex89]

Trovare tutti gli interi positivi $ k $ tali che esiste un intero $ a $ tale che
$ (a+k)^3-a^3 $ è un multiplo di $ 2007 $

[darkcrystal]

Allora, la tesi è $ (a+k)^3 \equiv a^3 \pmod {2007} $. Modulo 3 l'elevazione al cubo è iniettiva, dunque $ a+k \equiv a \pmod 3 \rightarrow 3|k $. Poniamo allora k=3b, e svolgendo i conti scopriamo che questo ci aggiusta anche modulo 9.
Resta allora $ (a+3b)^3 \equiv a^3 \pmod {223} $.

223 è primo, perciò ogni elemento tranne lo zero ha inverso. Del resto, se a=0, si ha solo k=0. Possiamo quindi supporre che a abbia inverso.
Scriviamo allora la tesi come $ (1+3ba^{-1})^3 \equiv 1 \pmod 223 $
Ora, dato che $ 3|\varphi(223) $, l'elevazione al cubo NON è iniettiva mod 223, ma ogni residuo cubico ha 3 radici... perciò esiste una radice cubica di 1 diversa da 1 stesso (ad esempio, se qualcuno ha voglia di fare il conto, credo che 39 dovrebbe andar bene... ma non ci importa più di tanto). Sia r questa radice.
Io vorrei che $ 1+3ba^{-1} \equiv r \pmod {223} \rightarrow 3b \cdot (r-1)^{-1} \equiv a $, ma questa ha evidentemente sempre soluzione (r non è 1, e dunque r-1 ha l'inverso)... quindi vanno bene tutti i b, e dunque tutti e soli i k multipli di 3.

Ciao!