OliForum Matematico

Siano a,b,c reali positivi tali che $ a+b+c \ge abc $. Dimostrare che

$ a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt 3 abc $

per AM - GM $ \displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \Longleftrightarrow (a+b+c)^3 \geq 27abc \Longleftrightarrow (a+b+c)^4 \geq $$ \displaystyle 27(abc)^2 \Longleftrightarrow (a+b+c)^2 \geq 3\sqrt{3}abc $

per QM - AM $ \displaystyle \sqrt {\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}}\geq \frac{a + b + c}{3} \Longleftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geq $$ \displaystyle \frac{(a + b + c)^2}{3} \Longleftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geq \sqrt{3}abc $

cavolo io sono interessatissimo a queste formule:
AM - GM
QM - AM
ecc...
ma da dove le prendi?
Dove posso studiarle?
Cosa dev o studiare....
Io sono al 5 liceo e non mi è mai stato spiegato niente del genere...aiutatemi!!!

Sono le medie..

$ AM= \frac{a_1+...+a_n}{n} $
$ GM=\sqrt[n]{a_1\cdot\cdot\cdot a_n} $
$ QM=\sqrt{\displaystyle \frac{{a_1}^2+...+{a_n}^2}{n} $

E tra loro vale questa disuguaglianza :

$ GM\leq AM\leq QM $

Poi puoi trovare qualcosa di più o a giro su internet, o sulle dispense del Gobbino, o sul sito del Gobbino tra qualche video di stage tipo senior, le medie ci son di sicuro...

EUCLA ha scritto:Sono le medie..

$ AM= \frac{a_1+...+a_n}{n} $
$ GM=\sqrt[n]{a_1\cdot\cdot\cdot a_n} $
$ QM=\sqrt{\displaystyle \frac{{a_1}^2+...+{a_n}^2}{n} $

E tra loro vale questa disuguaglianza :

$ GM\leq AM\leq QM $

Poi puoi trovare qualcosa di più o a giro su internet, o sulle dispense del Gobbino, o sul sito del Gobbino tra qualche video di stage tipo senior, le medie ci son di sicuro...

e ki sarebbe sto gobbino?mi daresti il link?

Max Gobbino è un tizio che si dà un sacco da fare per le olimpiadi in italia.
Sul suo sito: http://www2.ing.unipi.it/~d9199/Home_Page/OT_Index.html
trovi un sacco di materiale, in particolare nella sezione video trovi i video di tutte le lezioni fatte agli stages degli ultimi tempi. In particolare potresti trovare utile "Algebra 2" del senior 2007 che spiega sicuramente le disuguaglianze più importanti.