OliForum Matematico

Trovare l'insieme dei punti limite di questa successione:
$ ~ A_n = sin{(n)} $

Enjoy!

Hmmm... prima di scrivere baggianate... che sia [-1,1]?

Edit: si vabbeh... adesso viene pure fuori che il seno è compreso tra -1 e 1
Grazie edriv

(a parte che è più plausibile che sia [-1,1])

A me sembra che sia molto più difficile di quanto sembra, visto che equivale a dimostrare che $ ~ \pi $ è irrazionale.

Io ho scritto la "soluzione" pensando a sin(nx)...
Adesso però ci penso meglio.
Intanto mi dimostri l'equivalenza?

Vediamo... se $ ~ \pi = \frac pq $ con p,q interi, allora $ ~ q2\pi = 2p $, quindi $ ~ \sin x = \sin{x + 2p} $, quindi l'immagine di 1,2,3,... è uguale all'immagine di un numero finito di valori (al più 2p), e i punti limite della successione sono finiti. (saranno esattamente $ ~ \{\sin 1, \sin 2, \ldots, \sin {2p}\} $)

Se pi greco non è razionale, allora per un fatto noto che si dimostra col pigeonhole dividendo $ ~ [0,2\pi] $ in tanti intervalli uguali, si ha che, indicando con f(x) l'unico reale della forma $ ~ x+k2\pi $ che cade in $ ~ [0,2\pi) $, l'insieme f(1),f(2),f(3),... è denso in $ ~ [0,2\pi] $ e visto che $ ~ \sin x = \sin f(x) $, l'insieme $ ~ \sin 1, \sin 2, \ldots $ è denso in [-1,1].

Già non è per niente facile... Conosco chi ha fatto le ore piccole per riuscire a venirne a capo!