Chiusi disgiunti
-
pic88
- Messaggi: 741
- Iscritto il: 16 apr 2006, 11:34
- Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...
Chiusi disgiunti
E' vero che la distanza tra due chiusi disgiunti e nonvuoti è sempre >0?
Ad esempio prendendo i reali, no.
Primo chiuso: {1,2,3,4,...}
Secondo chiuso: $ ~ \{1,2+\frac 12,3+\frac 13, 4 + \frac 14, \ldots \} $
Invece se sono compatti, sì. La funzione "distanza tra un punto di A e un punto di B" è continua, è definita sul prodotto di due compatti (quindi ancora compatto), quindi la sua immagine è un compatto (dei reali), quindi è chiuso e limitato, quindi ha un minimo. Se tale minimo è 0, vuol dire che A e B non sono disgiunti.
Primo chiuso: {1,2,3,4,...}
Secondo chiuso: $ ~ \{1,2+\frac 12,3+\frac 13, 4 + \frac 14, \ldots \} $
Invece se sono compatti, sì. La funzione "distanza tra un punto di A e un punto di B" è continua, è definita sul prodotto di due compatti (quindi ancora compatto), quindi la sua immagine è un compatto (dei reali), quindi è chiuso e limitato, quindi ha un minimo. Se tale minimo è 0, vuol dire che A e B non sono disgiunti.