chiusura dell'unione e unione delle chiusure

[piazza88]

dimostrare che$ \overline{A\cup{B}}=\overline{A}\cup\overline{B} $ e che $ \overline{A\cap{B}}\subseteq{\overline{A}\cap\overline{B}} $. dimostrare che quest'ultima inclusione può essere propria.
ps: con $ \overline{A} $ si indica la chiusura di A in R

[pic88]

1.La chiusura di un insieme è data dall'insieme più i suoi punti di accumulazione.
Se un punto è d'accumulazione per $ A \cup B $ allora o lo è per A o per B. Vale anche il viceversa.

2.Se un punto è nella chiusura dell'intersezione allora o è nell'intersezione o è accumlazione per l'intersezione (cioè sia per A che per B).

[mark86]

Indico con $ \mathbf{U}(x) $la famiglia degli intorni di $ x $ (topologicamente parlando). Indico con $ DX $ il derivato dell'insieme $ X $; di conseguenza, per definizione di chiusura

$ \overline{A\cup B}=A\cup B\cup D(A\cup B)=A\cup DA\cup B\cup DB = \overline{A}\cup \overline{B}. $

Dimostro la seconda uguaglianza sul derivato dell'unione con la doppia inclusione: sia $ x\in D(A\cup B) $ allora $ \exists U \in D(A\cup B) $: $ U\cap (A\cup B)\neq \emptyset $ quindi $ (U\cap A)\cup (U\cap B)\neq \emptyset $ da cui $ x\in DA $ o $ x\in B $ cioé $ x\in DA\cup DB $; viceversa se $ x\in DA $ allora $ \exists U_1\in \mathbf{U}(x) $: $ U_1\cap A\neq \emptyset $ da cui $ U_1\cap (A\cup B)\neq \emptyset $ cioé $ x\in D(A\cup B) $. Stessa cosa se $ x\in DB $.[/tex]