minimo di massimo

[jordan]

dati a1, a2, a3.....an reali positivi tali che a1+a2+a3+..+an=n, definiamo B(j) per ogni j<n come il max delle somme da a1 a aj, da a2 a a(j+1), da a3 a a(j+2),....da a(n-j+1) a an, (cioe, in altre parole ilmassimo di tutte le somme di j termini consecutivi). trovare il minimo di B(j).

[wolverine]

mmm... vediamo... se ho capito bene l'enunciato (ma non e' affatto detto) per cominciare direi

B(1)=1

B(2)=2 per n pari e B(2)=2n/(n+1) per n dispari

B(j)=? per j>2 (ci pensero', ma non oggi)

[jordan]

dico b(j) in funzione di j e n

[darkcrystal]

Mmh mi sembra di non riuscire a capire il problema, a meno che i reali fossero non negativi. Ammesso di aver capito bene, cioè che j ed n sono fissati e dobbiamo trovare gli a_i, c'è questo che non mi torna: consideriamo B(n-1). Questa vale $ B(n-1)=\sum a_i - min(a_1,a_n)=n-min(a_1,a_n) $ ma questa non ha minimo, perchè corrisponderebbe al massimo di min(a1,an) che non esiste (perchè ha un maggiorante, n/2, ma non un massimo a meno di ammettere che gli altri valori possano essere zero)

[darkcrystal]

Nell'ottica che possano essere 0, comunque, la risposta (salvo aggiustamenti dovuti alla divisibilità che ora non ho voglia di fare e farò se mi dai conferma che sono sulla strada giusta) dovrebbe essere $ b(i)=i, i \leq \frac{n}{2}; b(i)=\frac{n}{2}, \frac{n}{2} \leq i \leq n-1; b(n)=n $
Infatti consideriamo il primo caso: supponiamo che j|n (e lì ci sarebbero i famosi aggiustamenti...). Allora prendiamo le somme (1,...,j); (j+1,...,2j); .... Queste sono n/j, perciò $ \frac{n}{j}b(j) \geq n $ poichè n è la somma di tutte queste somme, e dunque $ b(j) \geq j $, e del resto per ottenere j basta mettere tutti 1.
Poi, $ b(j+1) \geq b(j) $ per evidenti motivi, e dato che riesco a fare b(n-1)=n/2, tutti quelli in mezzo dovrebbero fare n/2. Infine b(n)=n per ovvi motivi.
Chiaro che questo è solo un abbozzo, ma la strada potrebbe essere questa
Ciao!

[jordan]

si, con reali positivi intendevo >=0, cioe non negativi come dicevi tu..

cmq il testo originale (credo puo essere d'aiuto) chiedeva:
a) trovare il minimo di b(j) con $ j \le \frac n 2 $
b) trovare b(j) per ogni j da 1 a n

ps " $ j \le \frac n 2 $ " grazie edriv