al suo interno le diagonali e i lati formano vari poligoni; provare che tutti quanti hanno lati di lunghezza razionale
good work
salva90
[USAMO 03] poligoni razionali
[USAMO 03] poligoni razionali
dato un n-agono convesso, si sa che tutti i lati e tutte le diagonali hanno lunghezza razionale.
al suo interno le diagonali e i lati formano vari poligoni; provare che tutti quanti hanno lati di lunghezza razionale
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salva90
al suo interno le diagonali e i lati formano vari poligoni; provare che tutti quanti hanno lati di lunghezza razionale
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salva90
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]
Un po' di brutta trigonometria e dovrebbe venire...
Intanto ragionangioci un po' su, direi che basta dimostrarlo per n=4. Perchè? Vogliamo dimostrare che tutti i pezzi in cui è tagliata una diagonale sono razionali. Prendiamo un punto P in cui la diagonale è tagliata. P è intersezione di due diagonali del poligono; consideriamo il quadrilatero che ha per diagonali quelle due diagonali, dimostrato il problema per n=4 questo implica che ciascuno dei pezzi in cui era divisa la diagonale di partenza era razionale.
Applicando stupidamente Carnot a qualsiasi angolo della figura che non abbia vertice in P, vediamo che il suo coseno è razionale.
In particolare $ ~ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta $ è razionale, e $ ~ \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta - \cos \alpha + \beta $ sono razionali, quindi anche il rapporto $ ~ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} $ è razionale. Quindi il rapporto tra le aree ADP e ABP, che è uguale a $ ~ \frac{AD \sin \alpha}{AB \sin \beta} $ è razionale, ma il rapporto tra le due aree è proprio $ ~ \frac{DP}{PB} $. Aggiungendo che $ ~ DP + PB $ è razionale, direi che è finita.
Intanto ragionangioci un po' su, direi che basta dimostrarlo per n=4. Perchè? Vogliamo dimostrare che tutti i pezzi in cui è tagliata una diagonale sono razionali. Prendiamo un punto P in cui la diagonale è tagliata. P è intersezione di due diagonali del poligono; consideriamo il quadrilatero che ha per diagonali quelle due diagonali, dimostrato il problema per n=4 questo implica che ciascuno dei pezzi in cui era divisa la diagonale di partenza era razionale.
Applicando stupidamente Carnot a qualsiasi angolo della figura che non abbia vertice in P, vediamo che il suo coseno è razionale.
In particolare $ ~ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta $ è razionale, e $ ~ \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta - \cos \alpha + \beta $ sono razionali, quindi anche il rapporto $ ~ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} $ è razionale. Quindi il rapporto tra le aree ADP e ABP, che è uguale a $ ~ \frac{AD \sin \alpha}{AB \sin \beta} $ è razionale, ma il rapporto tra le due aree è proprio $ ~ \frac{DP}{PB} $. Aggiungendo che $ ~ DP + PB $ è razionale, direi che è finita.